List $I$ के फलनों को List $II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित कीजिए।

List $I$	List $II$
$A. 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 1$	$(I)$ $x = 4$ पर न्यूनतम मान रखता है
$B. x + \frac{1}{x}, \forall x < 0$	$(II)$ $x = -1$ पर अधिकतम मान रखता है
$C. x^4(7 - x)^3$	$(III)$ $x = 4$ पर अधिकतम मान रखता है
$D. x^4 + (8 - x)^4$	$(IV)$ $[2, \infty)$ में ह्रासमान है
	$(V)$ $[2, \infty)$ में वर्धमान है

माना $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। एक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है। माना $n$ एक प्राकृतिक संख्या है। List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि को List-$II$ की सही प्रविष्टि से मिलाएं और सही विकल्प चुनें।

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $n$ का न्यूनतम मान जिसके लिए फलन $f(x)=\left[\frac{10 x^3-45 x^2+60 x+35}{n}\right]$ अंतराल $[1,2]$ पर सतत है	$(1)$ $8$
$(Q)$ $n$ का न्यूनतम मान जिसके लिए $g(x)=\left(2 n^2-13 n-15\right)\left(x^3+3 x\right), x \in R$,$R$ पर एक वर्धमान फलन है	$(2)$ $9$
$(R)$ $5$ से बड़ी वह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $n$ जिसके लिए $x=3$,$h(x)=\left(x^2-9\right)^{n}\left(x^2+2 x+3\right)$ का स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है	$(3)$ $5$
$(S)$ $x_0 \in R$ की संख्या जिसके लिए $l(x)=\sum_{k=0}^4\left(\sin |x-k|+\cos \left|x-k+\frac{1}{2}\right|\right), x \in R$ बिंदु $x_0$ पर अवकलनीय नहीं है	$(4)$ $6$
	$(5)$ $10$

यदि $f(x)=\int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए है,तो
$(A)$ $f$ का $x=2$ पर स्थानीय उच्चतम मान है
$(B)$ $f$ अंतराल $(2,3)$ में ह्रासमान है
$(C)$ कोई ऐसा $c \in(0, \infty)$ विद्यमान है जिसके लिए $f^{\prime \prime}(c)=0$
$(D)$ $f$ का $x=3$ पर स्थानीय निम्नतम मान है

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \frac{x^2-3x-6}{x^2+2x+4}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $f$ अंतराल $(-2, -1)$ में ह्रासमान है
$(B)$ $f$ अंतराल $(1, 2)$ में वर्धमान है
$(C)$ $f$ आच्छादक (onto) है
$(D)$ $f$ का परिसर $[-\frac{3}{2}, 2]$ है

फलन $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$ इस प्रकार है कि $f(2) = f(4) = 0$ है। दो कथनों पर विचार करें।
$(S_1)$ ऐसे $x_{1}, x_{2} \in (2, 4)$,$x_{1} < x_{2}$ विद्यमान हैं कि $f^{\prime}(x_{1}) = -1$ और $f^{\prime}(x_{2}) = 0$ है।
$(S_2)$ ऐसे $x_{3}, x_{4} \in (2, 4)$,$x_{3} < x_{4}$ विद्यमान हैं कि $f$,$(2, x_{4})$ में ह्रासमान है,$(x_{4}, 4)$ में वर्धमान है और $2f^{\prime}(x_{3}) = \sqrt{3}f(x_{4})$ है।
तब

दो अवकलनीय फलन $f(x)$ और $g(x)$ इस प्रकार हैं कि सभी $x \in (a,b)$ के लिए $f''(x) > 0$ और $g''(x) < 0$ है और $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} g(x) dx$ है। यदि $x = \alpha, \beta \in (a,b)$ $(\alpha < \beta)$ के लिए $f(x) = g(x)$ है,तो: