फलन $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$ इस प्रकार है कि $f(2) = f(4) = 0$ है। दो कथनों पर विचार करें।
$(S_1)$ ऐसे $x_{1}, x_{2} \in (2, 4)$,$x_{1} < x_{2}$ विद्यमान हैं कि $f^{\prime}(x_{1}) = -1$ और $f^{\prime}(x_{2}) = 0$ है।
$(S_2)$ ऐसे $x_{3}, x_{4} \in (2, 4)$,$x_{3} < x_{4}$ विद्यमान हैं कि $f$,$(2, x_{4})$ में ह्रासमान है,$(x_{4}, 4)$ में वर्धमान है और $2f^{\prime}(x_{3}) = \sqrt{3}f(x_{4})$ है।
तब

यदि $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},$ किसी $c > 0$ के लिए,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}$ एक अचर है जो $a$ और $b$ से स्वतंत्र है।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \frac{x^2-3x-6}{x^2+2x+4}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $f$ अंतराल $(-2, -1)$ में ह्रासमान है
$(B)$ $f$ अंतराल $(1, 2)$ में वर्धमान है
$(C)$ $f$ आच्छादक (onto) है
$(D)$ $f$ का परिसर $[-\frac{3}{2}, 2]$ है

यदि $f(x)=\sqrt{x+\sin x}$ है,तो समुच्चय $\{(x, f(x)) \mid f^{\prime}(x)=0\}$ के सभी बिंदु किस पर स्थित हैं?

मान लीजिए $f(x) = x \cos^{-1}(-\sin |x|)$,$x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

बहुपद $f(x)=1+2x+3x^2+4x^3$ पर विचार करें। मान लीजिए $s$,$f(x)$ के सभी भिन्न वास्तविक मूलों का योग है और $t=|s|$ है।
$1.$ वास्तविक संख्या $s$ किस अंतराल में स्थित है?
$(A)$ $\left(-\frac{1}{4}, 0\right)$ $(B)$ $\left(-1,-\frac{3}{4}\right)$
$(C)$ $\left(-\frac{3}{4},-\frac{1}{2}\right)$ $(D)$ $\left(0, \frac{1}{4}\right)$
$2.$ वक्र $y=f(x)$ और रेखाओं $x=0, y=0$ तथा $x=t$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल किस अंतराल में स्थित है?
$(A)$ $\left(\frac{3}{4}, 3\right)$ $(B)$ $\left(\frac{21}{64}, \frac{11}{16}\right)$
$(C)$ $(9,10)$ $(D)$ $\left(0, \frac{21}{64}\right)$
$3.$ फलन $f^{\prime}(x)$ है:
$(A)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ में वर्धमान और $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ में ह्रासमान
$(B)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ में ह्रासमान और $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ में वर्धमान
$(C)$ $(-t, t)$ में वर्धमान $(D)$ $(-t, t)$ में ह्रासमान
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।