વિધેય $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$ એવું છે કે $f(2) = f(4) = 0$. બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો.
$(S_1)$ એવા $x_{1}, x_{2} \in (2, 4)$,$x_{1} < x_{2}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(x_{1}) = -1$ અને $f^{\prime}(x_{2}) = 0$ થાય.
$(S_2)$ એવા $x_{3}, x_{4} \in (2, 4)$,$x_{3} < x_{4}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f$ એ $(2, x_{4})$ માં ઘટતું વિધેય છે,$(x_{4}, 4)$ માં વધતું વિધેય છે અને $2f^{\prime}(x_{3}) = \sqrt{3}f(x_{4})$ થાય.
તો

બે વિકલનીય વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ એવા છે કે જેથી તમામ $x \in (a,b)$ માટે $f''(x) > 0$ અને $g''(x) < 0$ થાય અને $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} g(x) dx$ છે. જો $x = \alpha, \beta \in (a,b)$ $(\alpha < \beta)$ માટે $f(x) = g(x)$ હોય,તો:

ધારો કે $f(x) = 2x + \tan^{-1} x$ અને $g(x) = \log_e(\sqrt{1+x^2} + x)$,$x \in [0, 3]$. તો:

બહુપદી $f(x)=1+2x+3x^2+4x^3$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $s$ એ $f(x)$ ના તમામ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજનો સરવાળો છે અને $t=|s|$ છે.
$1.$ વાસ્તવિક સંખ્યા $s$ એ કયા અંતરાલમાં આવે છે?
$(A)$ $\left(-\frac{1}{4}, 0\right)$ $(B)$ $\left(-1,-\frac{3}{4}\right)$
$(C)$ $\left(-\frac{3}{4},-\frac{1}{2}\right)$ $(D)$ $\left(0, \frac{1}{4}\right)$
$2.$ વક્ર $y=f(x)$ અને રેખાઓ $x=0, y=0$ અને $x=t$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કયા અંતરાલમાં આવે છે?
$(A)$ $\left(\frac{3}{4}, 3\right)$ $(B)$ $\left(\frac{21}{64}, \frac{11}{16}\right)$
$(C)$ $(9,10)$ $(D)$ $\left(0, \frac{21}{64}\right)$
$3.$ વિધેય $f^{\prime}(x)$ એ:
$(A)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ માં વધતું અને $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ માં ઘટતું છે
$(B)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ માં ઘટતું અને $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ માં વધતું છે
$(C)$ $(-t, t)$ માં વધતું છે $(D)$ $(-t, t)$ માં ઘટતું છે
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

ધારો કે $f(x)=2^x-x^2, x \in R$. જો $m$ અને $n$ એ અનુક્રમે $y=f(x)$ અને $y=f^{\prime}(x)$ વક્ર $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓની સંખ્યા હોય,તો $m+n$ નું મૂલ્ય શોધો.

List $I$ ના વિધેયોને List $II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો.

List $I$	List $II$
$A. 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 1$	$(I)$ $x = 4$ પર ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવે છે
$B. x + \frac{1}{x}, \forall x < 0$	$(II)$ $x = -1$ પર મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે
$C. x^4(7 - x)^3$	$(III)$ $x = 4$ પર મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે
$D. x^4 + (8 - x)^4$	$(IV)$ $[2, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે
	$(V)$ $[2, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે