यदि $f(x)=\sqrt{x+\sin x}$ है,तो समुच्चय $\{(x, f(x)) \mid f^{\prime}(x)=0\}$ के सभी बिंदु किस पर स्थित हैं?

फलन $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$ इस प्रकार है कि $f(2) = f(4) = 0$ है। दो कथनों पर विचार करें।
$(S_1)$ ऐसे $x_{1}, x_{2} \in (2, 4)$,$x_{1} < x_{2}$ विद्यमान हैं कि $f^{\prime}(x_{1}) = -1$ और $f^{\prime}(x_{2}) = 0$ है।
$(S_2)$ ऐसे $x_{3}, x_{4} \in (2, 4)$,$x_{3} < x_{4}$ विद्यमान हैं कि $f$,$(2, x_{4})$ में ह्रासमान है,$(x_{4}, 4)$ में वर्धमान है और $2f^{\prime}(x_{3}) = \sqrt{3}f(x_{4})$ है।
तब

मान लीजिए $f(x)=2^x-x^2, x \in R$ है। यदि $m$ और $n$ क्रमशः उन बिंदुओं की संख्या हैं जहाँ वक्र $y=f(x)$ और $y=f^{\prime}(x)$,$x$-अक्ष को काटते हैं,तो $m+n$ का मान ज्ञात कीजिए।

List $I$ के फलनों को List $II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित कीजिए।

List $I$	List $II$
$A. 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 1$	$(I)$ $x = 4$ पर न्यूनतम मान रखता है
$B. x + \frac{1}{x}, \forall x < 0$	$(II)$ $x = -1$ पर अधिकतम मान रखता है
$C. x^4(7 - x)^3$	$(III)$ $x = 4$ पर अधिकतम मान रखता है
$D. x^4 + (8 - x)^4$	$(IV)$ $[2, \infty)$ में ह्रासमान है
	$(V)$ $[2, \infty)$ में वर्धमान है

$f(x)=4 \log _{e}(x-1)-2 x^{2}+4 x+5, x>1$,निम्नलिखित में से कौन सा सही नहीं है?

यदि $f(x)=\int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए है,तो
$(A)$ $f$ का $x=2$ पर स्थानीय उच्चतम मान है
$(B)$ $f$ अंतराल $(2,3)$ में ह्रासमान है
$(C)$ कोई ऐसा $c \in(0, \infty)$ विद्यमान है जिसके लिए $f^{\prime \prime}(c)=0$
$(D)$ $f$ का $x=3$ पर स्थानीय निम्नतम मान है