दो अवकलनीय फलन $f(x)$ और $g(x)$ इस प्रकार हैं कि सभी $x \in (a,b)$ के लिए $f''(x) > 0$ और $g''(x) < 0$ है और $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} g(x) dx$ है। यदि $x = \alpha, \beta \in (a,b)$ $(\alpha < \beta)$ के लिए $f(x) = g(x)$ है,तो:

  • A
    $\int_{\alpha}^{\beta} (g(x) - f(x)) dx = \int_{a}^{\alpha} (f(x) - g(x)) dx + \int_{\beta}^{b} (f(x) - g(x)) dx$
  • B
    $\int_{\alpha}^{\beta} (g(x) - f(x)) dx = \int_{a}^{\alpha} (f(x) - g(x)) dx$
  • C
    $\int_{\alpha}^{\beta} (g(x) - f(x)) dx = \int_{\beta}^{b} (f(x) - g(x)) dx$
  • D
    $\int_{\alpha}^{\beta} (g(x) - f(x)) dx = \int_{\alpha}^{\beta} (f(x) - g(x)) dx$

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मान लीजिए $x \in (0, 1)$ के लिए $f(x) = \sin x + (x^3 - 3x^2 + 4x - 2) \cos x$ है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I.$ $f$ का $(0, 1)$ में एक शून्य है।
$II.$ $f$ $(0, 1)$ में एकदिष्ट (monotone) है।
तो,

मान लीजिए $f(x) = 2x + \tan^{-1} x$ और $g(x) = \log_e(\sqrt{1+x^2} + x)$,$x \in [0, 3]$ है। तो:

समीकरण $2e^{|x|} \tan^{-1}|x| = 1$ के हलों की संख्या - है।

माना $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। एक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है। माना $n$ एक प्राकृतिक संख्या है। List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि को List-$II$ की सही प्रविष्टि से मिलाएं और सही विकल्प चुनें।
List-$I$List-$II$
$(P)$ $n$ का न्यूनतम मान जिसके लिए फलन $f(x)=\left[\frac{10 x^3-45 x^2+60 x+35}{n}\right]$ अंतराल $[1,2]$ पर सतत है$(1)$ $8$
$(Q)$ $n$ का न्यूनतम मान जिसके लिए $g(x)=\left(2 n^2-13 n-15\right)\left(x^3+3 x\right), x \in R$,$R$ पर एक वर्धमान फलन है$(2)$ $9$
$(R)$ $5$ से बड़ी वह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $n$ जिसके लिए $x=3$,$h(x)=\left(x^2-9\right)^{n}\left(x^2+2 x+3\right)$ का स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है$(3)$ $5$
$(S)$ $x_0 \in R$ की संख्या जिसके लिए $l(x)=\sum_{k=0}^4\left(\sin |x-k|+\cos \left|x-k+\frac{1}{2}\right|\right), x \in R$ बिंदु $x_0$ पर अवकलनीय नहीं है$(4)$ $6$
$(5)$ $10$

मान लीजिए $f(x) = \min (\{x\}, \{e^{-x}\})$ जहाँ $x \in [0, 10]$ है। यदि $C$ और $D$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f(x)$ क्रमशः असंतत और अवकलनीय नहीं है,तो $(C + D)$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है)।

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