मान लीजिए x in (0, 1) के लिए f(x) = sin x + ( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) दिया गया है $f(x) = \sin x + (x^3 - 3x^2 + 4x - 2) \cos x$।ध्यान दें कि $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x-1)^3 + (x-1)$।अतः,$f(x) = \sin x + ((x-1)^3 + (x

Vedclass · Accepted Answer

$I$ और $II$ सत्य हैं

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \sin x + (x^3 - 3x^2 + 4x - 2) \cos x$।ध्यान दें कि $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x-1)^3 + (x-1)$।अतः,$f(x) = \sin x + ((x-1)^3 + (x-1)) \cos x$।अवकलन करने पर:$f'(x) = \cos x + [3(x-1)^2 + 1] \cos x - [(x-1)^3 + (x-1)] \sin x$$f'(x) = \cos x [3(x-1)^2 + 2] + (1-x)((x-1)^2 + 1) \sin x$।$x \in (0, 1)$ के लिए,$\cos x > 0$,$\sin x > 0$,$(1-x) > 0$,और कोष्ठक में दिए गए पद धनात्मक हैं।इस प्रकार,$f'(x) > 0$ सभी $x \in (0, 1)$ के लिए,जिसका अर्थ है कि $f$ निरंतर वर्धमान (monotone) है।साथ ही,$f(0) = -2  0$।चूंकि $f$ सतत है और $(0, 1)$ में अपना चिह्न बदलता है,Intermediate Value Theorem के अनुसार,$f$ का $(0, 1)$ में एक शून्य है।अतः,कथन $I$ और $II$ दोनों सत्य हैं।

List $I$	List $II$
$A. 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 1$	$(I)$ $x = 4$ पर न्यूनतम मान रखता है
$B. x + \frac{1}{x}, \forall x < 0$	$(II)$ $x = -1$ पर अधिकतम मान रखता है
$C. x^4(7 - x)^3$	$(III)$ $x = 4$ पर अधिकतम मान रखता है
$D. x^4 + (8 - x)^4$	$(IV)$ $[2, \infty)$ में ह्रासमान है
	$(V)$ $[2, \infty)$ में वर्धमान है

Similar Questions

मान लीजिए $f(x) = 2x + \tan^{-1} x$ और $g(x) = \log_e(\sqrt{1+x^2} + x)$,$x \in [0, 3]$ है। तो:

समीकरण $2e^{|x|} \tan^{-1}|x| = 1$ के हलों की संख्या - है।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module