समीकरण $2e^{|x|} \tan^{-1}|x| = 1$ के हलों की संख्या - है।

$f(x)=4 \log _{e}(x-1)-2 x^{2}+4 x+5, x>1$,निम्नलिखित में से कौन सा सही नहीं है?

माना $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। एक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है। माना $n$ एक प्राकृतिक संख्या है। List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि को List-$II$ की सही प्रविष्टि से मिलाएं और सही विकल्प चुनें।

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $n$ का न्यूनतम मान जिसके लिए फलन $f(x)=\left[\frac{10 x^3-45 x^2+60 x+35}{n}\right]$ अंतराल $[1,2]$ पर सतत है	$(1)$ $8$
$(Q)$ $n$ का न्यूनतम मान जिसके लिए $g(x)=\left(2 n^2-13 n-15\right)\left(x^3+3 x\right), x \in R$,$R$ पर एक वर्धमान फलन है	$(2)$ $9$
$(R)$ $5$ से बड़ी वह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $n$ जिसके लिए $x=3$,$h(x)=\left(x^2-9\right)^{n}\left(x^2+2 x+3\right)$ का स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है	$(3)$ $5$
$(S)$ $x_0 \in R$ की संख्या जिसके लिए $l(x)=\sum_{k=0}^4\left(\sin |x-k|+\cos \left|x-k+\frac{1}{2}\right|\right), x \in R$ बिंदु $x_0$ पर अवकलनीय नहीं है	$(4)$ $6$
	$(5)$ $10$

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \frac{x^2-3x-6}{x^2+2x+4}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $f$ अंतराल $(-2, -1)$ में ह्रासमान है
$(B)$ $f$ अंतराल $(1, 2)$ में वर्धमान है
$(C)$ $f$ आच्छादक (onto) है
$(D)$ $f$ का परिसर $[-\frac{3}{2}, 2]$ है

दो अवकलनीय फलन $f(x)$ और $g(x)$ इस प्रकार हैं कि सभी $x \in (a,b)$ के लिए $f''(x) > 0$ और $g''(x) < 0$ है और $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} g(x) dx$ है। यदि $x = \alpha, \beta \in (a,b)$ $(\alpha < \beta)$ के लिए $f(x) = g(x)$ है,तो:

मान लीजिए $f(x)=2^x-x^2, x \in R$ है। यदि $m$ और $n$ क्रमशः उन बिंदुओं की संख्या हैं जहाँ वक्र $y=f(x)$ और $y=f^{\prime}(x)$,$x$-अक्ष को काटते हैं,तो $m+n$ का मान ज्ञात कीजिए।