જો $f(x)=\int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt$ એ તમામ $x \in(0, \infty)$ માટે હોય,તો
$(A)$ $f$ ને $x=2$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે
$(B)$ $f$ એ $(2,3)$ પર ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ કોઈ એવું $c \in(0, \infty)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime \prime}(c)=0$ થાય
$(D)$ $f$ ને $x=3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે

જો $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},$ કોઈ $c > 0$ માટે,તો સાબિત કરો કે $\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}$ એ $a$ અને $b$ થી સ્વતંત્ર અચળ છે.

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારો કે $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. List-$I$ ની દરેક એન્ટ્રીને List-$II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો અને સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.

List-$I$	List-$II$
$(P)$ વિધેય $f(x)=\left[\frac{10 x^3-45 x^2+60 x+35}{n}\right]$ અંતરાલ $[1,2]$ પર સતત હોય તે માટે $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત	$(1)$ $8$
$(Q)$ વિધેય $g(x)=\left(2 n^2-13 n-15\right)\left(x^3+3 x\right), x \in R$ એ $R$ પર વધતું વિધેય હોય તે માટે $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત	$(2)$ $9$
$(R)$ $5$ થી મોટી એવી સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ કે જેના માટે $x=3$ એ $h(x)=\left(x^2-9\right)^{n}\left(x^2+2 x+3\right)$ નું સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ હોય	$(3)$ $5$
$(S)$ $x_0 \in R$ ની સંખ્યા કે જેના માટે $l(x)=\sum_{k=0}^4\left(\sin |x-k|+\cos \left|x-k+\frac{1}{2}\right|\right), x \in R$ એ $x_0$ પર વિકલનીય ન હોય	$(4)$ $6$
	$(5)$ $10$

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{x^2-3x-6}{x^2+2x+4}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $f$ એ અંતરાલ $(-2, -1)$ માં ઘટતું વિધેય છે
$(B)$ $f$ એ અંતરાલ $(1, 2)$ માં વધતું વિધેય છે
$(C)$ $f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે
$(D)$ $f$ નો વિસ્તાર $[-\frac{3}{2}, 2]$ છે

બહુપદી $f(x)=1+2x+3x^2+4x^3$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $s$ એ $f(x)$ ના તમામ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજનો સરવાળો છે અને $t=|s|$ છે.
$1.$ વાસ્તવિક સંખ્યા $s$ એ કયા અંતરાલમાં આવે છે?
$(A)$ $\left(-\frac{1}{4}, 0\right)$ $(B)$ $\left(-1,-\frac{3}{4}\right)$
$(C)$ $\left(-\frac{3}{4},-\frac{1}{2}\right)$ $(D)$ $\left(0, \frac{1}{4}\right)$
$2.$ વક્ર $y=f(x)$ અને રેખાઓ $x=0, y=0$ અને $x=t$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કયા અંતરાલમાં આવે છે?
$(A)$ $\left(\frac{3}{4}, 3\right)$ $(B)$ $\left(\frac{21}{64}, \frac{11}{16}\right)$
$(C)$ $(9,10)$ $(D)$ $\left(0, \frac{21}{64}\right)$
$3.$ વિધેય $f^{\prime}(x)$ એ:
$(A)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ માં વધતું અને $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ માં ઘટતું છે
$(B)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ માં ઘટતું અને $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ માં વધતું છે
$(C)$ $(-t, t)$ માં વધતું છે $(D)$ $(-t, t)$ માં ઘટતું છે
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

ધારો કે $f(x)=2^x-x^2, x \in R$. જો $m$ અને $n$ એ અનુક્રમે $y=f(x)$ અને $y=f^{\prime}(x)$ વક્ર $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓની સંખ્યા હોય,તો $m+n$ નું મૂલ્ય શોધો.