मान लीजिए P=begin{bmatrix} -30 & 20 & 56 90 | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $M = (P^{-1}AP - I)^{2}$ है।हम जानते हैं कि $\det(P^{-1}AP - I) = \det(P^{-1}(A - I)P) = \det(P^{-1}) \det(A - I) \det(P) = \det(A - I)$

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$36$

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(C) मान लीजिए $M = (P^{-1}AP - I)^{2}$ है।हम जानते हैं कि $\det(P^{-1}AP - I) = \det(P^{-1}(A - I)P) = \det(P^{-1}) \det(A - I) \det(P) = \det(A - I)$ होता है।इसलिए,$\det(M) = (\det(A - I))^{2}$ होगा।अब,$A - I$ की गणना करते हैं:$A - I = \begin{bmatrix} 1 & 7 & \omega^{2} \ -1 & -\omega-1 & 1 \ 0 & -\omega & -\omega \end{bmatrix}$।गुणधर्म $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ का उपयोग करते हुए,$-\omega - 1 = \omega^{2}$ प्राप्त होता है।$A - I = \begin{bmatrix} 1 & 7 & \omega^{2} \ -1 & \omega^{2} & 1 \ 0 & -\omega & -\omega \end{bmatrix}$।सारणिक की गणना करने पर:$\det(A - I) = 1(\omega^{2}(-\omega) - (1)(-\omega)) - 7((-1)(-\omega) - 0) + \omega^{2}((-1)(-\omega) - 0)$$= 1(-\omega^{3} + \omega) - 7\omega + \omega^{3} = -1 + \omega - 7\omega + 1 = -6\omega$।अतः,$\det(M) = (-6\omega)^{2} = 36\omega^{2}$।दिया गया है कि $\det(M) = \alpha \omega^{2}$,इसलिए $\alpha = 36$।

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