ધારો કે $*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્રીકક્રિયા છે. $a, b \in Q$ માટે $a * b = (a - b)^{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્રીકક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે નહીં તે નક્કી કરો.

નીચે વ્યાખ્યાયિત દરેક દ્વિ ક્રિયા $^*$ માટે,$^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે જૂથનો નિયમ તે નક્કી કરો. $Q$ પર,$a ^* b = ab + 1$ વ્યાખ્યાયિત કરો.

નીચેનું વિધાન સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો અને કારણ આપો: ગણ $N$ પરની કોઈપણ દ્વિતીય ક્રિયા $^*$ માટે,દરેક $a \in N$ માટે $a \,^* \,a = a$ થાય છે.

દ્વિ-ક્રિયાઓ $^*: R \times R \rightarrow R$ અને $o: R \times R \rightarrow R$ ધ્યાનમાં લો,જે $a \,^*\, b = |a-b|$ અને $a \,o\, b = a$,$\forall \, a, b \in R$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $^*$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે પણ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી,અને $o$ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે પણ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી. વધુમાં,સાબિત કરો કે $\forall \, a, b, c \in R, a \,^*\, (b \,o\, c) = (a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c)$. [જો આમ હોય,તો આપણે કહીએ છીએ કે ક્રિયા $^*$ એ ક્રિયા $o$ પર વિભાજિત થાય છે]. શું $o$ એ $^*$ પર વિભાજિત થાય છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

ધારો કે $^*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે,જે $a * b = a + ab$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. શું આ ક્રિયા $^*$ ક્રમનો નિયમ અને જૂથનો નિયમ પાળે છે?

નીચે આપેલ $*$ ની વ્યાખ્યાઓ પૈકી કઈ દ્રીક ક્રિયા (binary operation) છે તે નક્કી કરો. જો $*$ દ્રીક ક્રિયા ન હોય,તો તેનું કારણ આપો. $Z^+$ પર,$*$ ને $a * b = |a - b|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.