मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण frac{2+sin x}{y+ | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{2+\sin x}{y+1} \frac{dy}{dx} = -\cos x$. चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y+1} = \frac{-\cos x}{2+\sin x} dx$. दोनों प

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$(1, 1)$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{2+\sin x}{y+1} \frac{dy}{dx} = -\cos x$. चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y+1} = \frac{-\cos x}{2+\sin x} dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$. इससे प्राप्त होता है: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + C$. प्रारंभिक शर्त $y(0) = 1$ का उपयोग करने पर: $\ln(1+1) = -\ln(2+\sin 0) + C \Rightarrow \ln 2 = -\ln 2 + C \Rightarrow C = 2\ln 2 = \ln 4$. अतः,$\ln(y+1) = \ln\left(\frac{4}{2+\sin x}\right)$,जिसका अर्थ है $y+1 = \frac{4}{2+\sin x}$,या $y(x) = \frac{4}{2+\sin x} - 1$. $x = \pi$ के लिए,$a = y(\pi) = \frac{4}{2+\sin \pi} - 1 = \frac{4}{2} - 1 = 1$. अब,$x = \pi$ पर $b = \frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं: $\frac{dy}{dx} = \frac{-\cos x}{2+\sin x} (y+1) = \frac{-\cos x}{2+\sin x} \left(\frac{4}{2+\sin x}\right) = \frac{-4\cos x}{(2+\sin x)^2}$. $x = \pi$ पर,$b = \frac{-4\cos \pi}{(2+\sin \pi)^2} = \frac{-4(-1)}{(2+0)^2} = \frac{4}{4} = 1$. अतः,क्रमित युग्म $(a, b) = (1, 1)$ है।

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