अवकल समीकरण 2x frac{dy}{dx} - y = 3 का व्यापक | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2x \frac{dy}{dx} = y + 3$ प्राप्त होता है। चरों को अलग कर

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परवलय

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2x \frac{dy}{dx} = y + 3$ प्राप्त होता है। चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y+3} = \frac{dx}{2x}$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y+3} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है। यह $\ln|y+3| = \frac{1}{2} \ln|x| + C_1$ देता है। $2$ से गुणा करने पर,$2 \ln|y+3| = \ln|x| + 2C_1$ प्राप्त होता है। लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,$\ln(y+3)^2 = \ln|x| + \ln|c|$,जहाँ $c = e^{2C_1}$ है। अतः,$(y+3)^2 = cx$,जो परवलयों के एक परिवार का समीकरण है।

अवकल समीकरण $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$ का व्यापक हल ... का एक परिवार है।

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अवकल समीकरण $y y^{\prime} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)} \right]$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $\phi$ एक स्वेच्छ फलन है।

$(\text{cosec } x \log y) dy + (x^2 y) dx = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

यदि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $2x^{2} \frac{dy}{dx} - 2xy + 3y^{2} = 0$ का हल है और $y(e) = \frac{e}{3}$ है,तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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