(text{cosec } x log y) dy + (x^2 y) dx = 0 का | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(	ext{cosec } x \log y) dy + (x^2 y) dx = 0$चरों को अलग करने पर: $\frac{\log y}{y} dy = -x^2 \sin x dx$दोनों पक्षों का समा

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$\frac{(\log y)^2}{2} + (2 - x^2) \cos x + 2x \sin x = c$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(	ext{cosec } x \log y) dy + (x^2 y) dx = 0$चरों को अलग करने पर: $\frac{\log y}{y} dy = -x^2 \sin x dx$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{\log y}{y} dy = -\int x^2 \sin x dx$माना $u = \log y$,तब $du = \frac{1}{y} dy$. बायां पक्ष $\int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log y)^2}{2}$ हो जाता है।दाएं पक्ष के लिए,खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x^2 \sin x dx = x^2(-\cos x) - \int 2x(-\cos x) dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x dx$.पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x$.अतः,$-\int x^2 \sin x dx = x^2 \cos x - 2(x \sin x + \cos x) = x^2 \cos x - 2x \sin x - 2 \cos x$.दोनों पक्षों को बराबर करने पर: $\frac{(\log y)^2}{2} = x^2 \cos x - 2x \sin x - 2 \cos x + c$.व्यवस्थित करने पर: $\frac{(\log y)^2}{2} + (2 - x^2) \cos x + 2x \sin x = c$.

$(\text{cosec } x \log y) dy + (x^2 y) dx = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

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