मान लीजिए कि $S$ समीकरणों की प्रणाली $(x, y, z)$ के सभी पूर्णांक हलों का समुच्चय है:
$x-2y+5z=0$
$-2x+4y+z=0$
$-7x+14y+9z=0$
इस प्रकार कि $15 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 150$. तो,समुच्चय $S$ में अवयवों की संख्या बराबर है

$(a, b, c)$ के उन त्रिकों (triplets) की संख्या क्या है जिनके लिए समीकरण निकाय $ax - by = 2a - b$ और $(c + 1)x + cy = 10 - a + 3b$ के अनंत हल हैं और $(x = 1, y = 3)$ एक हल है?

समीकरणों $x + 2y + 3z = 1,$ $2x + y + 3z = 2,$ और $5x + 5y + 9z = 4$ के:

यदि समीकरणों के निकाय $x+y-z=1$, $2x+4y-z=0$ और $3x+4y+5z=18$ के संगत ऑगमेंटेड मैट्रिक्स को $\left[\begin{array}{cccc}1 & a & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & b \\ 0 & 0 & c & 32\end{array}\right]$ में रूपांतरित किया जाता है, तो $\sqrt{a+b+c}=$

यदि $x^a y^b=e^m, x^c y^d=e^n, \Delta_1=\left|\begin{array}{ll}m & b \\ n & d\end{array}\right|, \Delta_2=\left|\begin{array}{ll}a & m \\ c & n\end{array}\right|, \Delta_3=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|$,तो $x$ और $y$ के मान क्रमशः क्या हैं? ($e$ प्राकृतिक लघुगणक का आधार है).

यदि रैखिक समीकरण निकाय $3x + y + \beta z = 3$,$2x + \alpha y - z = -3$,और $x + 2y + z = 4$ के अनंत हल हैं,तो $22\beta - 9\alpha$ का मान है: