माना y=y(x) अवकल समीकरण x y^{prime}-y=x^{2}(x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx}-y=x^{2}(x \cos x+\sin x)$ है।$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x(x \cos x+\sin x)$ प्राप्त

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$2+\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx}-y=x^{2}(x \cos x+\sin x)$ है।$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x(x \cos x+\sin x)$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=-\frac{1}{x}$ और $Q=x^{2} \cos x+x \sin x$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx} = e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ है।हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।$\frac{y}{x} = \int \frac{1}{x} \cdot x(x \cos x+\sin x) dx = \int (x \cos x+\sin x) dx$.खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x$.अतः,$\frac{y}{x} = x \sin x + \cos x - \cos x + C = x \sin x + C$.चूँकि $y(\pi)=\pi$ दिया गया है,तो $\frac{\pi}{\pi} = \pi \sin(\pi) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C=1$.इस प्रकार,$y = x^{2} \sin x + x$.अब,$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^{2}}{4} + \frac{\pi}{2}$.आगे,$\frac{dy}{dx} = x^{2} \cos x + 2x \sin x + 1$.तब,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -x^{2} \sin x + 2x \cos x + 2x \cos x + 2 \sin x = -x^{2} \sin x + 4x \cos x + 2 \sin x$.$x=\frac{\pi}{2}$ पर मान रखने पर,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 4\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi^{2}}{4} + 0 + 2 = 2 - \frac{\pi^{2}}{4}$.अंत में,$y^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) + y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(2 - \frac{\pi^{2}}{4}\right) + \left(\frac{\pi^{2}}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = 2 + \frac{\pi}{2}$.

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x y^{\prime}-y=x^{2}(x \cos x+\sin x), x>0$ का हल है। यदि $y(\pi)=\pi$ है,तो $y^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)+y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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