मान लीजिए f(x) = max (sin x, cos x) और g(x) = | vedclass

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Question

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $f(x)y^2 + ay + g(x) = 0$ के सभी $x \in R$ के लिए वास्तविक मूल हैं।द्विघात समीकरण $Ay^2 + By + C = 0$ के वास्तविक मूल होने

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$a \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$

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(A) दिया गया द्विघात समीकरण $f(x)y^2 + ay + g(x) = 0$ के सभी $x \in R$ के लिए वास्तविक मूल हैं।द्विघात समीकरण $Ay^2 + By + C = 0$ के वास्तविक मूल होने के लिए विविक्तकर $D = B^2 - 4AC \geq 0$ होना चाहिए।यहाँ,$A = f(x)$,$B = a$,और $C = g(x)$ है।अतः,$a^2 - 4f(x)g(x) \geq 0$,जिसका अर्थ है $a^2 \geq 4f(x)g(x)$।चूँकि $f(x)g(x) = \sin x \cos x$ होता है।इसलिए,$a^2 \geq 4 \sin x \cos x = 2 \sin(2x)$।यह असमिका सभी $x \in R$ के लिए सत्य होनी चाहिए,इसलिए $a^2$ को $2 \sin(2x)$ के अधिकतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।$2 \sin(2x)$ का अधिकतम मान $2$ है।अतः,$a^2 \geq 2$।इसका अर्थ है $|a| \geq \sqrt{2}$,जिससे $a \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$ प्राप्त होता है।

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