ધારો કે S_{1}: x^{2}+y^{2}=9 અને S_{2}:(x-2)^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વર્તુળો $S_{1}: x^{2}+y^{2}=3^{2}$ છે જેનું કેન્દ્ર $A(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1}=3$ છે,અને $S_{2}: (x-2)^{2}+y^{2}=1^{2}$ છે જેનું કેન્દ્ર $B

Vedclass · Accepted Answer

$\left(2, \pm \frac{3}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વર્તુળો $S_{1}: x^{2}+y^{2}=3^{2}$ છે જેનું કેન્દ્ર $A(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1}=3$ છે,અને $S_{2}: (x-2)^{2}+y^{2}=1^{2}$ છે જેનું કેન્દ્ર $B(2,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_{2}=1$ છે.ધારો કે ચલ વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $P(x,y)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.વર્તુળ $S$ એ $S_{1}$ ને અંદરથી સ્પર્શતું હોવાથી,અંતર $PA = r_{1} - r = 3 - r$ થાય.વર્તુળ $S$ એ $S_{2}$ ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,અંતર $PB = r_{2} + r = 1 + r$ થાય.આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$PA + PB = (3 - r) + (1 + r) = 4$ મળે.અહીં $PA + PB = 4$ અને અંતર $AB = 2$ હોવાથી,$P$ નો બિંદુપથ એ ઉપવલય છે જેના નાભિઓ $A(0,0)$ અને $B(2,0)$ છે અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 4$ છે,તેથી $a = 2$.ઉપવલયનું કેન્દ્ર $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(1,0)$ છે.નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = AB = 2$ છે,તેથી $2(2)e = 2$,જે $e = \frac{1}{2}$ આપે છે.તેથી $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2}) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 3$ મળે.ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-1)^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ છે.વિકલ્પો તપાસતા,$x=2$ માટે,$\frac{(2-1)^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ $\Rightarrow \frac{y^{2}}{3} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow y^{2} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow y = \pm \frac{3}{2}$ મળે.આમ,બિંદુપથ $\left(2, \pm \frac{3}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે.

Similar Questions

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુ આગળનો અભિલંબ ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,તો:

ઉપવલય $9x^2 + 5y^2 = 45$ ના બિંદુ $(0, 3)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ શું છે?

બિંદુ $(3,5)$ માંથી ઉપવલયો $3x^2 + 5y^2 = 32$ અને $25x^2 + 9y^2 = 450$ પર દોરી શકાય તેવા સ્પર્શકોની કુલ સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module