माना कि $\vec{a}=\hat{i}+\alpha \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-\alpha \hat{j}+\hat{k}$ है। यदि समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निरूपित हैं और उसका क्षेत्रफल $8 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई है,तो $\vec{a} \cdot \vec{b}$ का मान ....... है।

$\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $-\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ के समतल के लंबवत $10 \sqrt{3}$ परिमाण वाले सभी सदिश ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}, \lambda \in R$. यदि $\vec{a}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{a} \times \vec{b}=13 \hat{i}-\hat{j}-4 \hat{k}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}+21=0$,तो $(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\hat{k}-\hat{j})+(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\hat{i}-\hat{k})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ एक त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश हैं,तो दर्शाइए कि $\frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}+\vec{a} \times \vec{b}]$ त्रिभुज का सदिश क्षेत्रफल देता है। अतः,तीन बिंदुओं $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के संरेख होने की शर्त ज्ञात कीजिए। त्रिभुज के तल के लंबवत इकाई सदिश भी ज्ञात कीजिए।

सदिश $\vec{a}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ को समकोण पर घुमाया जाता है,जो अपने रास्ते में $y$-अक्ष से होकर गुजरता है और परिणामी सदिश $\vec{b}$ है। तो $\vec{c}=5 \hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$ पर $3 \vec{a}+\sqrt{2} \vec{b}$ का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

यदि $\Delta ABC$ के शीर्ष $A=(2,3,5), B=(-1,3,2), C=(3,5,-2)$ हैं,तो $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है