सदिश vec{a}=-hat{i}+2 hat{j}+hat{k} को समकोण | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$। सदिश $\vec{b}$ को $\vec{a}$ को $90^{\circ}$ घुमाकर प्राप्त किया जाता है ताकि यह $y$-अक्ष से

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$3 \sqrt{2}$

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(A) दिया गया है $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$। सदिश $\vec{b}$ को $\vec{a}$ को $90^{\circ}$ घुमाकर प्राप्त किया जाता है ताकि यह $y$-अक्ष से होकर गुजरे। इसका अर्थ है कि $\vec{b}$,$\vec{a}$ और $\hat{j}$ के तल में है।अतः,$\vec{b} = \lambda(\vec{a} 	imes (\vec{a} 	imes \hat{j}))$।त्रिक गुणन की गणना करने पर: $\vec{a} 	imes \hat{j} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) 	imes \hat{j} = -\hat{k} + \hat{i} = \hat{i} - \hat{k}$।तब $\vec{a} 	imes (\vec{a} 	imes \hat{j}) = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) 	imes (\hat{i} - \hat{k}) = \hat{j} + 2\hat{k} + 2\hat{i} + \hat{j} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$।चूंकि $|\vec{b}| = |\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$,हमारे पास $\sqrt{6} = |\lambda| \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = |\lambda| \sqrt{12} = 2\sqrt{3}|\lambda|$ है।अतः,$|\lambda| = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।चूंकि $\vec{b}$,$y$-अक्ष से होकर गुजरता है,$\vec{b} \cdot \hat{j} > 0$। $\lambda = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ की जांच करने पर,$\vec{b} = -\sqrt{2}\hat{i} - \sqrt{2}\hat{j} - \sqrt{2}\hat{k}$। यह $\vec{b} \cdot \hat{j} = -\sqrt{2} $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$ की जांच करने पर,$\vec{b} = \sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$। यह $\vec{b} \cdot \hat{j} = \sqrt{2} > 0$ देता है। अतः $\vec{b} = \sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$।अब,$3\vec{a} + \sqrt{2}\vec{b} = 3(-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \sqrt{2}(\sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) = -\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}$।$\vec{c} = 5\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ पर प्रक्षेप $\frac{(- \hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})}{\sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2}} = \frac{-5 + 32 + 15}{\sqrt{50}} = \frac{42}{5\sqrt{2}} = \frac{21\sqrt{2}}{5} = 4.2\sqrt{2}$।

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बिंदुओं $P(1, -1, 2)$,$Q(2, 0, -1)$ और $R(0, 2, 1)$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत एक इकाई सदिश है:

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उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए,जिसके शीर्ष $A \equiv(1,-1,2)$,$B \equiv(2,1,-1)$ और $C \equiv(3,-1,2)$ हैं।

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