मान लीजिए कि L वक्रों 4x^{2} + 9y^{2} = 36 और | vedclass

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Question

(A) दिए गए वक्र $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ (दीर्घवृत्त) और $x^{2} + y^{2} = \frac{31}{4}$ (वृत्त) हैं।मान लीजिए कि उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा क

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$3$

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(A) दिए गए वक्र $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ (दीर्घवृत्त) और $x^{2} + y^{2} = \frac{31}{4}$ (वृत्त) हैं।मान लीजिए कि उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का ढाल $m$ है।दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2} + b^{2}}$ है।यहाँ $a^{2} = 9$ और $b^{2} = 4$,इसलिए स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{9m^{2} + 4}$ है।वृत्त $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm r\sqrt{1 + m^{2}}$ है।यहाँ $r^{2} = \frac{31}{4}$,इसलिए स्पर्श रेखा $y = mx \pm \frac{\sqrt{31}}{2}\sqrt{1 + m^{2}}$ है।रेखाओं के समान होने के लिए,अचर पद समान होने चाहिए:$9m^{2} + 4 = \frac{31}{4}(1 + m^{2})$.$4$ से गुणा करने पर,हमें $36m^{2} + 16 = 31 + 31m^{2}$ प्राप्त होता है।$5m^{2} = 15$.$m^{2} = 3$.

मान लीजिए कि $L$ वक्रों $4x^{2} + 9y^{2} = 36$ और $(2x)^{2} + (2y)^{2} = 31$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है। तो रेखा $L$ के ढाल का वर्ग ..... है।

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