माना overrightarrow{a}=hat{i}+hat{j}+hat{k} औ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$।हमें $\vec{a} 	imes \vec{c} = \vec{b}$ और $\vec{a} \cdot

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$-2$

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(A) दिया गया है कि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$।हमें $\vec{a} 	imes \vec{c} = \vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ दिया गया है।हमें $\vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c})$ का मान ज्ञात करना है।अदिश त्रिगुणन गुणनफल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) = (\vec{a} 	imes \vec{b}) \cdot \vec{c}$।सबसे पहले,$\vec{a} 	imes \vec{b}$ की गणना करते हैं:$\vec{a} 	imes \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1-1) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(1-0) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$।अब,सदिश त्रिगुणन गुणनफल सर्वसमिका $\vec{a} 	imes (\vec{a} 	imes \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{c}$ का उपयोग करते हैं।चूंकि $\vec{a} 	imes \vec{c} = \vec{b}$,इसलिए $\vec{a} 	imes \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{c}$ प्राप्त होता है।$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ दिया गया है,अतः:$-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} = 3(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 3\vec{c}$।$3\vec{c} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} - (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$।$\vec{c} = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$।अंत में,$\vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) = (\vec{a} 	imes \vec{b}) \cdot \vec{c} = (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (\frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}) = -\frac{10}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2$।

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