मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण e^{x} sqrt{1-y^{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $e^{x} \sqrt{1-y^{2}} dx + \frac{y}{x} dy = 0$ है।चरों को अलग करने पर:$\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}} dy = -x e^{x} dx$.दोनों पक्षो

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$1-4e^{6}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $e^{x} \sqrt{1-y^{2}} dx + \frac{y}{x} dy = 0$ है।चरों को अलग करने पर:$\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}} dy = -x e^{x} dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}} dy = -\int x e^{x} dx$.बाएँ पक्ष के लिए,$u = 1-y^{2}$ लेने पर,$-\sqrt{1-y^{2}}$ प्राप्त होता है।दाएँ पक्ष के लिए,खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$-(x e^{x} - e^{x}) + C = -e^{x}(x-1) + C$ प्राप्त होता है।अतः,$-\sqrt{1-y^{2}} = -e^{x}(x-1) + C$,जिसका अर्थ है $\sqrt{1-y^{2}} = e^{x}(x-1) + C$.$y(1) = -1$ रखने पर,$0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.अतः,$\sqrt{1-y^{2}} = e^{x}(x-1)$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1-y^{2} = e^{2x}(x-1)^{2}$.$x=3$ के लिए,$1-y^{2} = e^{6}(2)^{2} = 4e^{6}$.अतः,$y^{2} = 1 - 4e^{6}$.

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $e^{x} \sqrt{1-y^{2}} dx + \frac{y}{x} dy = 0$ का हल है,जहाँ $y(1) = -1$ है। तो $(y(3))^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए ($k, c$ स्वेच्छ अचर हैं)

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