ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ operatorname{cos | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\operatorname{cosec}^{2} x \, dy + 2 \, dx = (1+y \cos 2x) \operatorname{cosec}^{2} x \, dx$.$\operatorname{cosec}^{2} x \, dx$

Vedclass · Accepted Answer

$e^{-1}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\operatorname{cosec}^{2} x \, dy + 2 \, dx = (1+y \cos 2x) \operatorname{cosec}^{2} x \, dx$.$\operatorname{cosec}^{2} x \, dx$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + 2 \sin^{2} x = 1 + y \cos 2x$.પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - y \cos 2x = 1 - 2 \sin^{2} x$.કારણ કે $1 - 2 \sin^{2} x = \cos 2x$,સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\frac{dy}{dx} - y \cos 2x = \cos 2x$.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\cos 2x$ અને $Q(x) = \cos 2x$.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\cos 2x \, dx} = e^{-\frac{\sin 2x}{2}}$ છે.ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) \, dx + C$ છે.$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = \int \cos 2x \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} \, dx + C$.ધારો કે $u = -\frac{\sin 2x}{2}$,તો $du = -\cos 2x \, dx$.તેથી,$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = -\int e^u \, du + C = -e^{-\frac{\sin 2x}{2}} + C$.આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{4}) = 0$,તેથી $0 = -e^{-\frac{\sin(\pi/2)}{2}} + C = -e^{-1/2} + C$,એટલે કે $C = e^{-1/2}$.આમ,$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = -e^{-\frac{\sin 2x}{2}} + e^{-1/2}$.$x = 0$ માટે,$y \cdot e^0 = -e^0 + e^{-1/2}$,જે $y(0) = -1 + e^{-1/2}$ આપે છે.તેથી,$(y(0) + 1)^{2} = (-1 + e^{-1/2} + 1)^{2} = (e^{-1/2})^{2} = e^{-1}$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(y^2+x+1) dy = (y+1) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x(1-x^{2}) \frac{dy}{dx}+(3x^{2}y-y-4x^{3})=0, x>1$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(2)=-2$ છે. તો $y(3)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module