ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}=1+x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 1 + xe^{y-x}$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - 1 = xe^{y-x}$.ધારો કે $y-x = u$,તો $\frac{du}{dx} = \frac{

Vedclass · Accepted Answer

$(1-\sqrt{3})-\log_{e}(\sqrt{3}-1)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 1 + xe^{y-x}$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - 1 = xe^{y-x}$.ધારો કે $y-x = u$,તો $\frac{du}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1$. આ કિંમત મૂકતા,$\frac{du}{dx} = xe^u$ મળે.ચલને અલગ કરતા: $e^{-u} du = x dx$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-u} du = \int x dx \Rightarrow -e^{-u} = \frac{x^2}{2} + C$.$u = y-x$ મૂકતા: $-e^{-(y-x)} = \frac{x^2}{2} + C \Rightarrow -e^{x-y} = \frac{x^2}{2} + C$.$y(0)=0$ આપેલ છે,તેથી $x=0, y=0$ માટે: $-e^0 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.તેથી,$-e^{x-y} = \frac{x^2}{2} - 1 \Rightarrow e^{x-y} = 1 - \frac{x^2}{2} = \frac{2-x^2}{2}$.પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $x-y = \ln\left(\frac{2-x^2}{2}\right) \Rightarrow y = x - \ln\left(\frac{2-x^2}{2}\right)$.ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લો: $1 + xe^{y-x} = 0$. મૂળ સમીકરણ પરથી,$\frac{dy}{dx} = 1 + x\left(\frac{2}{2-x^2}\right) = \frac{2-x^2+2x}{2-x^2} = 0$.$-x^2+2x+2=0 \Rightarrow x^2-2x-2=0$ ઉકેલતા. બીજ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ મળે.$x \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ હોવાથી,આપણે $x = 1-\sqrt{3}$ લઈશું.$x = 1-\sqrt{3}$ ને $y(x)$ માં મૂકતા: $y = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-(1-\sqrt{3})^2}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-(1+3-2\sqrt{3})}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-4+2\sqrt{3}}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln(\sqrt{3}-1)$.

કૉલમ $I$	કૉલમ $II$
$(A)$ વિકલ સમીકરણ $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ ના શૂન્યતર ઉકેલોના પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ અંતરાલ	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ સંકલન $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ ની કિંમત ધરાવતો અંતરાલ	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ અંતરાલ જેમાં $\cos^2 x+\sin x$ ના સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓમાંથી ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ આવેલું હોય	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ અંતરાલ જેમાં $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ વધતું વિધેય છે	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\,dx + \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 1 } \right)y\,dy = 0$ ઉકેલો.

ચકાસો કે આપેલ વિધેય $y = x \sin x$ એ વિકલ સમીકરણ $x y^{\prime} = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$ નો ઉકેલ છે (જ્યાં $x \neq 0$ અને $x > y$ અથવા $x < -y$).

એક વિધેય $y = f(x)$ એ શરત $f'(x) \sin x + f(x) \cos x = 1$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $x \rightarrow 0$ હોય ત્યારે $f(x)$ સીમિત છે. જો $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$ હોય,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module