વિકલ સમીકરણ $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\,dx + \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 1 } \right)y\,dy = 0$ ઉકેલો.

એક વિધેય $y = f(x)$ એ શરત $f'(x) \sin x + f(x) \cos x = 1$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $x \rightarrow 0$ હોય ત્યારે $f(x)$ સીમિત છે. જો $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$ હોય,તો:

જો $\frac{d^2y}{dx^2} + \sin x = 0$ હોય,તો વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ ...... છે.

ધારો કે $f:[0, \infty) \rightarrow R$ એક સતત વિધેય છે જેથી તમામ $x \in[0, \infty)$ માટે $f(x)=1-2 x+\int_0^x e^{x-t} f(t) d t$ થાય. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે
$(B)$ વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(2,-1)$ માંથી પસાર થાય છે
$(C)$ પ્રદેશ $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi-2}{4}$ છે
$(D)$ પ્રદેશ $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi-1}{4}$ છે

$y\,dx - x\,dy + 3x^2y^2e^{x^3}dx = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

ચકાસો કે આપેલ વિધેય $y = x \sin x$ એ વિકલ સમીકરણ $x y^{\prime} = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$ નો ઉકેલ છે (જ્યાં $x \neq 0$ અને $x > y$ અથવા $x < -y$).