अवकल समीकरण $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\,dx + \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 1 } \right)y\,dy = 0$ को हल कीजिए।

स्तंभ $I$ में दिए गए कथनों/व्यंजकों को स्तंभ $II$ में दिए गए विवृत अंतरालों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अवकल समीकरण $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ के शून्येतर हलों के प्रांत में निहित अंतराल	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ समाकलन $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ का मान रखने वाला अंतराल	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ अंतराल जिसमें $\cos^2 x+\sin x$ के स्थानीय उच्चतम बिंदुओं में से कम से कम एक बिंदु स्थित है	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ अंतराल जिसमें $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ वर्धमान है	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

वक्रों का वह परिवार ज्ञात कीजिए जिसके लिए किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा और वक्र $xy = c^2$ की प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्पर्श रेखा के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है।

उन सभी वृत्तों के परिवार पर विचार करें जिनके केंद्र सीधी रेखा $y = x$ पर स्थित हैं। यदि वृत्तों के इस परिवार को अवकल समीकरण $P y^{\prime \prime} + Q y^{\prime} + 1 = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $P, Q$ $x, y$ और $y^{\prime}$ के फलन हैं (यहाँ $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}, y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dx^2}$),तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$

स्तंभ $I$ में दिए गए कथनों/व्यंजकों को स्तंभ $II$ में दिए गए मानों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में समीकरण $x e^{\sin x}-\cos x=0$ के हलों की संख्या	$(p)$ $1$
$(B)$ $k$ के मान जिनके लिए समतल $k x+4 y+z=0, 4 x+k y+2 z=0$ और $2 x+2 y+z=0$ एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं	$(q)$ $2$
$(C)$ $k$ के मान जिनके लिए $|x-1|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=4 k$ के पूर्णांक हल हैं	$(r)$ $3$
$(D)$ यदि $y^{\prime}=y+1$ और $y(0)=1$ है,तो $y(\ln 2)$ का मान	$(s)$ $4$
	$(t)$ $5$

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+4}{3x+2y-7}$ का व्यापक हल है