मान लीजिए A = begin{bmatrix} 0 & -2 2 & 0 en | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & -2 \ 2 & 0 \end{bmatrix}$।$A$ की घातों की गणना करने पर:$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -2 \ 2 & 0 \end{bmatrix}

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एक गैर-तत्समक सममित आव्यूह

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & -2 \ 2 & 0 \end{bmatrix}$।$A$ की घातों की गणना करने पर:$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -2 \ 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -2 \ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 \ 0 & -4 \end{bmatrix} = -4I$।$A^3 = A^2 \cdot A = -4A$।$A^4 = (A^2)^2 = (-4I)^2 = 16I$।सामान्यतः,$A^{2k} = (-4)^k I$ और $A^{2k-1} = (-4)^{k-1} A$।$M = \sum_{k=1}^{10} A^{2k} = \sum_{k=1}^{10} (-4)^k I = I \sum_{k=1}^{10} (-4)^k$। चूँकि $M$,तत्समक आव्यूह $I$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए $M$ सममित है।$N = \sum_{k=1}^{10} A^{2k-1} = \sum_{k=1}^{10} (-4)^{k-1} A = A \sum_{k=1}^{10} (-4)^{k-1}$। चूँकि $A$ विषम-सममित है,$N$,$A$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए $N$ विषम-सममित है।$N^2 = (	ext{अदिश} \cdot A)^2 = 	ext{अदिश}^2 \cdot A^2 = 	ext{अदिश}^2 \cdot (-4I)$,जो $I$ का एक अदिश गुणज है,अतः $N^2$ सममित है।चूँकि $M$ और $N^2$ दोनों सममित हैं और क्रमविनिमेय हैं,उनका गुणनफल $MN^2$ भी सममित है।चूँकि $M$ और $N^2$ अदिश आव्यूह हैं,$MN^2$ एक अदिश आव्यूह है,जो सममित है लेकिन आवश्यक रूप से तत्समक आव्यूह नहीं है।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$ है। यदि $M$ और $N$ दो आव्यूह $M = \sum_{k=1}^{10} A^{2k}$ और $N = \sum_{k=1}^{10} A^{2k-1}$ द्वारा दिए गए हैं,तो $MN^2$ क्या है?

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