मान लीजिए f : R rightarrow R एक सतत फलन है जो | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) + f(x + k) = n$. $x$ को $x + k$ से बदलने पर,हमें $f(x + k) + f(x + 2k) = n$ प्राप्त होता है। दोनों समीकरणों को घटाने पर,$f(x + 2

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$I_{1} + nI_{2} = 4n^{2}k$

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(C) दिया गया है $f(x) + f(x + k) = n$. $x$ को $x + k$ से बदलने पर,हमें $f(x + k) + f(x + 2k) = n$ प्राप्त होता है। दोनों समीकरणों को घटाने पर,$f(x + 2k) - f(x) = 0$,अतः $f(x + 2k) = f(x)$. इस प्रकार,$f(x)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 2k$ है। $T$ आवर्तकाल वाले आवर्ती फलन के लिए,$\int_{a}^{a+nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$. $I_{1} = \int_{0}^{4nk} f(x) dx = \int_{0}^{(2n)2k} f(x) dx = 2n \int_{0}^{2k} f(x) dx$. $I_{2} = \int_{-k}^{3k} f(x) dx = \int_{0}^{4k} f(x) dx = 2 \int_{0}^{2k} f(x) dx$. अब,$\int_{0}^{2k} f(x) dx = \int_{0}^{k} f(x) dx + \int_{k}^{2k} f(x) dx$. चूंकि $f(x + k) = n - f(x)$,$\int_{k}^{2k} f(x) dx = \int_{0}^{k} f(x + k) dx = \int_{0}^{k} (n - f(x)) dx = nk - \int_{0}^{k} f(x) dx$. अतः,$\int_{0}^{2k} f(x) dx = \int_{0}^{k} f(x) dx + nk - \int_{0}^{k} f(x) dx = nk$. इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,$I_{1} = 2n(nk) = 2n^{2}k$ और $I_{2} = 2(nk) = 2nk$. अंत में,$I_{1} + nI_{2} = 2n^{2}k + n(2nk) = 2n^{2}k + 2n^{2}k = 4n^{2}k$.

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