मान लीजिए A = begin{bmatrix} 1+i & 1 -i & 0 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \ -i & 0 \end{bmatrix}$।$A^2$ की गणना करें:$A^2 = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \ -i & 0 \end{bmatrix} \begin

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$25$

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(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \ -i & 0 \end{bmatrix}$।$A^2$ की गणना करें:$A^2 = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \ -i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1+i & 1 \ -i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+i)^2 - i & 1+i \ -i(1+i) & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2i - i & 1+i \ -i+1 & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 1+i \ 1-i & -i \end{bmatrix}$।$A^4 = (A^2)^2$ की गणना करें:$A^4 = \begin{bmatrix} i & 1+i \ 1-i & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1+i \ 1-i & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2 + (1+i)(1-i) & i(1+i) - i(1+i) \ i(1-i) - i(1-i) & (1-i)(1+i) + i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 2 & 0 \ 0 & 2 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$।हमें $A^n = A$ चाहिए। चूँकि $A^4 = I$,इसलिए $A^{4k+1} = (A^4)^k \cdot A = I^k \cdot A = A$।अतः,$n$ को $4k+1$ के रूप में होना चाहिए जहाँ $k \ge 0$ है।दिया गया है $1 \le n \le 100$,तो $1 \le 4k+1 \le 100 \Rightarrow 0 \le 4k \le 99 \Rightarrow 0 \le k \le 24.75$।चूँकि $k$ एक पूर्णांक है,$k \in \{0, 1, 2, \ldots, 24\}$।$k$ के ऐसे $25$ मान हैं,इसलिए समुच्चय में $25$ अवयव हैं।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -i & 0 \end{bmatrix}$ जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। तो,समुच्चय $\{n \in \{1, 2, \ldots, 100\} : A^n = A\}$ में अवयवों की संख्या है

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