मान लीजिए कि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समीकरण $z^5=1$ के भिन्न काल्पनिक मूल हैं। तो सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: $\left| \begin{array}{ccc} e^{\alpha} & e^{2\alpha} & e^{3\alpha+1} \\ e^{\beta} & e^{2\beta} & e^{3\beta+1} \\ e^{\gamma} & e^{2\gamma} & e^{3\gamma+1} \end{array} \right|$.

समीकरण $\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} x & \sin ^{2} x & \sin ^{2} x \\ \cos ^{2} x & 1+\cos ^{2} x & \cos ^{2} x \\ 4 \sin 2 x & 4 \sin 2 x & 1+4 \sin 2 x\end{array}\right|=0$ के लिए $(0 < x < \pi)$ हल ज्ञात कीजिए।

यदि $AA^T = I$ और $C$ एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है,तो $((A^T CA)^{50})^T$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $p$ और $p+2$ अभाज्य संख्याएँ हैं और $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}p! & (p+1)! & (p+2)! \\ (p+1)! & (p+2)! & (p+3)! \\ (p+2)! & (p+3)! & (p+4)!\end{array}\right|$ है। तो $\alpha$ और $\beta$ के अधिकतम मानों का योग,ताकि $p^{\alpha}$ और $(p+2)^{\beta}$,$\Delta$ को विभाजित करें,$........$ है।

$A$ और $B$ दो $3 \times 3$ नॉन-सिंगुलर आव्यूह हैं ताकि $\operatorname{adj} A = |A| B$ हो। यदि $\operatorname{tr}(X)$ एक वर्ग आव्यूह $X$ के ट्रेस को दर्शाता है और $C = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 7 \\ 3 & -2 & 5 \\ -2 & 3 & 6 \end{bmatrix}$ है, तो $\sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{tr}\left(\frac{1}{3^k}(A B)^k C\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

क्रम $3$ के वास्तविक वर्ग आव्यूहों के समुच्चय पर निम्नलिखित संबंध $R$ पर विचार करें। $R = \{(A,B) | A = P^{-1}BP \text{ किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह } P \text{ के लिए }\}$.
\textbf{कथन-$1$:} $R$ एक तुल्यता संबंध है।
\textbf{कथन-$2$:} किन्हीं दो व्युत्क्रमणीय $3 \times 3$ आव्यूहों $M$ और $N$ के लिए,$(MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}$।