ધારો કે R એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે તમામ $x, y \in R$ માટે $|f(x) - f(y)| \geq |x - y|$.પ્રથમ,આપણે દર્શાવીએ કે $f$ એક-એક છે. ધારો કે કોઈ $x_1, x_2 \in R$ માટે $f(x_1) = f(

Vedclass · Accepted Answer

$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે તમામ $x, y \in R$ માટે $|f(x) - f(y)| \geq |x - y|$.પ્રથમ,આપણે દર્શાવીએ કે $f$ એક-એક છે. ધારો કે કોઈ $x_1, x_2 \in R$ માટે $f(x_1) = f(x_2)$ છે. તો $|f(x_1) - f(x_2)| = 0$. આપેલ અસમતા પરથી,$0 \geq |x_1 - x_2|$,જેનો અર્થ છે કે $|x_1 - x_2| = 0$,તેથી $x_1 = x_2$. આમ,$f$ એક-એક છે.આગળ,આપણે દર્શાવીએ કે $f$ વ્યાપ્ત છે. $f$ સતત અને એક-એક હોવાથી,$f$ ચુસ્તપણે એકવિધ (strictly monotonic) હોવું જોઈએ. જો $f$ ચુસ્તપણે વધતું વિધેય હોય,તો $x > y$ માટે $f(x) - f(y) \geq x - y$ થાય. જેમ $x 	o \infty$,$f(x) 	o \infty$,અને જેમ $x 	o -\infty$,$f(x) 	o -\infty$. જો $f$ ચુસ્તપણે ઘટતું વિધેય હોય,તો $x > y$ માટે $f(y) - f(x) \geq x - y$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f(x) - f(y) \leq -(x - y)$. જેમ $x 	o \infty$,$f(x) 	o -\infty$,અને જેમ $x 	o -\infty$,$f(x) 	o \infty$. બંને કિસ્સાઓમાં,$f$ નો વિસ્તાર $(-\infty, \infty) = R$ છે. આમ,$f$ વ્યાપ્ત છે.તેથી,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

Similar Questions

જો $P(S)$ એ આપેલ ગણ $S$ ના તમામ ઉપગણોનો ગણ દર્શાવતું હોય,તો ગણ $S = \{ 1, 2, 3 \}$ થી ગણ $P(S)$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા કેટલી થાય?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} x + 2, & x \leq -1 \\ x^2, & -1 < x < 1 \\ 2 - x, & x \geq 1 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f(-1.75) + f(0.5) + f(1.5)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: R \to R$ એ $f(x) = x^3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f$ એ . . . . . . છે.

મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $f(x) = [x]$ માટે,જ્યાં $x \in R$,નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

$f: R \rightarrow R$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^2$ ની એક-એક (injectivity) અને વ્યાપ્ત (surjectivity) ચકાસો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module