मान लीजिए S = {x in R : cos(x) + cos(sqrt{2}x | vedclass

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Question

(D) हमें समुच्चय $S = \{x \in R : \cos(x) + \cos(\sqrt{2}x) < 2\}$ दिया गया है।हम जानते हैं कि कोसाइन फलन का अधिकतम मान $1$ होता है,जो तब प्राप्त होता

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$S = R - \{0\}$

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(D) हमें समुच्चय $S = \{x \in R : \cos(x) + \cos(\sqrt{2}x) हम जानते हैं कि कोसाइन फलन का अधिकतम मान $1$ होता है,जो तब प्राप्त होता है जब कोण $2\pi$ का पूर्णांक गुणज हो।$\cos(x) + \cos(\sqrt{2}x) = 2$ होने के लिए,$\cos(x)$ और $\cos(\sqrt{2}x)$ दोनों का एक साथ $1$ होना आवश्यक है।इसका अर्थ है कि $x = 2n\pi$ और $\sqrt{2}x = 2m\pi$ किसी पूर्णांक $n, m$ के लिए।यदि $x = 0$ है,तो $n = 0$ और $m = 0$,जो शर्त $\cos(0) + \cos(0) = 1 + 1 = 2$ को संतुष्ट करता है।यदि $x 
eq 0$ है,तो $\frac{\sqrt{2}x}{x} = \frac{2m\pi}{2n\pi} \implies \sqrt{2} = \frac{m}{n}$,जो असंभव है क्योंकि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।अतः,योग $\cos(x) + \cos(\sqrt{2}x)$ केवल $x = 0$ के लिए $2$ के बराबर है,और शेष सभी $x \in R \setminus \{0\}$ के लिए यह $2$ से कम रहता है।इसलिए,$S = R \setminus \{0\}$।

मान लीजिए $S = \{x \in R : \cos(x) + \cos(\sqrt{2}x) < 2\}$,तो

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