मान लीजिए R सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय | vedclass

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Question

(A) संबंध $aRb \iff a \mid b^2$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $a, b \in \mathbb{N}$ है।$I.$ स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{N}$ के लिए,$a^2$ हमेशा $a

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केवल $I$

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(A) संबंध $aRb \iff a \mid b^2$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $a, b \in \mathbb{N}$ है।$I.$ स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{N}$ के लिए,$a^2$ हमेशा $a$ से विभाज्य होता है (क्योंकि $a^2/a = a \in \mathbb{N}$)। अतः,सभी $a \in \mathbb{N}$ के लिए $(a, a) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।$II.$ सममितता: $R$ के सममित होने के लिए $aRb \implies bRa$ होना चाहिए। मान लीजिए $a=2$ और $b=6$ है। यहाँ $2 \mid 6^2$ $(2 \mid 36)$ सत्य है,इसलिए $(2, 6) \in R$ है। लेकिन $6 \mid 2^2$ $(6 \mid 4)$ असत्य है। इसलिए,$R$ सममित नहीं है।$III.$ संक्रामकता: $R$ के संक्रामक होने के लिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ होना चाहिए। मान लीजिए $a=8, b=4, c=2$ है।$(8, 4) \in R$ क्योंकि $8 \mid 4^2$ $(8 \mid 16)$।$(4, 2) \in R$ क्योंकि $4 \mid 2^2$ $(4 \mid 4)$।$(8, 2)$ के लिए जाँचें: $8 \mid 2^2$ $(8 \mid 4)$ असत्य है। इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।अतः,केवल $I$ संतुष्ट होता है।

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