मान लीजिए x, y, z धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे क | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $x^2+y^2=2z^2$ जहाँ $HCF(x, y, z)=1$ है।$I$ की जाँच करें: मान लीजिए $x=1, y=7, z=5$ है। यहाँ $1^2+7^2=50=2(5^2)$ है। $HCF(1, 7, 5)=1$

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केवल $II$ और $III$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $x^2+y^2=2z^2$ जहाँ $HCF(x, y, z)=1$ है।$I$ की जाँच करें: मान लीजिए $x=1, y=7, z=5$ है। यहाँ $1^2+7^2=50=2(5^2)$ है। $HCF(1, 7, 5)=1$ है। $4$,$1$ या $7$ को विभाजित नहीं करता है। अतः,$I$ गलत है।$II$ की जाँच करें: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2+y^2 \equiv 2z^2 \pmod 3$ है। $3$ के मापांक में वर्ग $0, 1$ हैं। यदि $z^2 \equiv 0$,तो $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y$ $3$ के गुणज हैं,जो $HCF=1$ का विरोधाभास है। यदि $z^2 \equiv 1$,तो $x^2+y^2 \equiv 2 \implies x^2 \equiv 1, y^2 \equiv 1$ है। अतः $x \equiv \pm 1, y \equiv \pm 1$ है। इस प्रकार $x+y \equiv 0$ या $x-y \equiv 0 \pmod 3$ है। $II$ सत्य है।$III$ की जाँच करें: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2-z^2 = z^2-y^2$ है। $5$ के मापांक में वर्ग $0, 1, 4$ हैं। यदि $z^2 \equiv 0$,तो $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y \equiv 0$,विरोधाभास। यदि $z^2 \equiv 1$,$x^2+y^2 \equiv 2$ है। संभावित जोड़े $(x^2, y^2)$ $(1, 1)$ हैं। अतः $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$ है। यदि $z^2 \equiv 4$,$x^2+y^2 \equiv 8 \equiv 3$ है। संभावित जोड़े $(x^2, y^2)$ $(4, 4)$ हैं। अतः $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$ है। दोनों स्थितियों में,$5$,$x^2-y^2$ को विभाजित करता है,इसलिए $5$,$z(x^2-y^2)$ को विभाजित करता है। $III$ सत्य है।

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