ધારો કે f(x) એ [0, infty) પર એક અ-ઋણ વિકલનીય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $f(x) \geq 0$ અને $f^{\prime}(x) \leq 2f(x)$.વિધેય $g(x) = f(x) e^{-2x}$ ધ્યાનમાં લો.તો $g^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) e^{-2x} - 2f(x)

Vedclass · Accepted Answer

$f(x) = 0$ તમામ $x \geq 0$ માટે

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $f(x) \geq 0$ અને $f^{\prime}(x) \leq 2f(x)$.વિધેય $g(x) = f(x) e^{-2x}$ ધ્યાનમાં લો.તો $g^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) e^{-2x} - 2f(x) e^{-2x} = e^{-2x} (f^{\prime}(x) - 2f(x))$.કારણ કે $f^{\prime}(x) \leq 2f(x)$,આપણી પાસે $f^{\prime}(x) - 2f(x) \leq 0$ છે.આમ,તમામ $x > 0$ માટે $g^{\prime}(x) \leq 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $g(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.કારણ કે $g(0) = f(0) e^0 = 0 	imes 1 = 0$ અને $x \geq 0$ માટે $g(x)$ ઘટતું વિધેય છે,તેથી તમામ $x \geq 0$ માટે $g(x) \leq g(0) = 0$ હોવું જોઈએ.જો કે,$f(x) \geq 0$ અને $e^{-2x} > 0$ છે,તેથી તમામ $x \geq 0$ માટે $g(x) = f(x) e^{-2x} \geq 0$ છે.તેથી,તમામ $x \geq 0$ માટે $g(x) = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે તમામ $x \geq 0$ માટે $f(x) = 0$ છે.

List-$I$	List-$II$
$a$. જો $y=\|x\|+\|x-2\|$ હોય, તો $x=2$ આગળ $\frac{dy}{dx}=$	$i$. $2$
$b$. જો $f(x)=\|\cos 2x\|$ હોય, તો $f^{\prime}(\frac{\pi}{4}+)=$	$ii$. $0$
$c$. જો $f(x)=\sin(\pi[x])$ હોય, જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે, તો $f^{\prime}(1-)=$	$iii$. $-2$
$d$. જો $f(x)=\log\|x-1\|, x \neq 1$ હોય, તો $f^{\prime}(\frac{1}{2})=$	$iv$. અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી

ધારો કે $f(x)$ એ $[0, \infty)$ પર એક અ-ઋણ વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(0)=0$ અને તમામ $x>0$ માટે $f^{\prime}(x) \leq 2 f(x)$ છે. તો,$[0, \infty)$ પર:

Similar Questions

જો $F(x) = \left(f\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 + \left(g\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2$,જ્યાં $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$ અને $g(x) = f^{\prime}(x)$,અને $F(5) = 5$ આપેલ હોય,તો $F(10)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module