ધારો કે P એ m times m શ્રેણિક છે જેથી P^2=P થ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $P^2 = P$. આ એક આઈડેમપોટન્ટ (idempotent) શ્રેણિક છે.આપણે $(I+P)^n$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:$(I+P)^n = \sum_{k=0}^{n} \bin

Vedclass · Accepted Answer

$I+(2^n-1)P$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $P^2 = P$. આ એક આઈડેમપોટન્ટ (idempotent) શ્રેણિક છે.આપણે $(I+P)^n$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:$(I+P)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} I^{n-k} P^k$કારણ કે કોઈપણ $m \ge 1$ માટે $I^m = I$ અને બધા $k \ge 1$ માટે $P^k = P$ થાય (કારણ કે $P^2=P, P^3=P^2P=PP=P$,વગેરે),તેથી:$(I+P)^n = I + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} P$$(I+P)^n = I + P \left( \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \right)$આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$,તેથી $\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - \binom{n}{0} = 2^n - 1$.તેથી,$(I+P)^n = I + (2^n - 1)P$.

ધારો કે $P$ એ $m \times m$ શ્રેણિક છે જેથી $P^2=P$ થાય. તો,$(I+P)^n$ બરાબર શું થાય?

Similar Questions

ધારો કે $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$. તો $A^{2025}-A^{2020}$ બરાબર શું થાય?

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $\det(A^n - I) = 1 - \lambda^n$ જ્યાં $n \in N$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

$2 \times 2$ ક્રમના કેટલા વિશિષ્ટ (singular) શ્રેણિકો મળે,જેના ઘટકો $\{2, 3, 6, 9\}$ ગણમાંથી હોય?

જો શ્રેણિક $A=\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ K & -1 \end{bmatrix}$ એ $A(A^{3}+3I)=2I$ નું સમાધાન કરે,તો $K$ ની કિંમત શોધો:

જો $z = \begin{bmatrix} 1 & 1+2i & -5i \\ 1-2i & -3 & 5+3i \\ 5i & 5-3i & 7 \end{bmatrix}$ હોય, તો નીચેનામાંથી શું સાચું છે? (જ્યાં $i = \sqrt{-1}$)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module