मान लीजिए A वक्र y=frac{1}{x} और रेखाओं y=0, | vedclass

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Question

(D) क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{1}^{10} \frac{1}{x} dx = [\ln x]_{1}^{10} = \ln 10$ द्वारा प्राप्त होता है।योग $B = \sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n} = 1 + \

Vedclass · Accepted Answer

$C < A < B$ और $B - A < A - C$

Vedclass · Answer

(D) क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{1}^{10} \frac{1}{x} dx = [\ln x]_{1}^{10} = \ln 10$ द्वारा प्राप्त होता है।योग $B = \sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{9}$ पर विचार करें। यह अंतराल $[1, 10]$ पर फलन $f(x) = \frac{1}{x}$ के लिए ऊपरी रीमान योग है। चूंकि $f(x)$ एक घटता हुआ फलन है,ऊपरी योग वक्र के नीचे के क्षेत्रफल से बड़ा है,इसलिए $B > A$ है।योग $C = \sum_{n=2}^{10} \frac{1}{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10}$ पर विचार करें। यह अंतराल $[1, 10]$ पर फलन $f(x) = \frac{1}{x}$ के लिए निचला रीमान योग है। चूंकि $f(x)$ घटता हुआ फलन है,निचला योग वक्र के नीचे के क्षेत्रफल से छोटा है,इसलिए $C अतः,हमारे पास $C $B-A$ और $A-C$ की तुलना करने के लिए,ध्यान दें कि $B-A = \sum_{n=1}^{9} (\frac{1}{n} - \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx)$ और $A-C = \sum_{n=1}^{9} (\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx - \frac{1}{n+1})$ है।चूंकि फलन $f(x) = \frac{1}{x}$ उत्तल (convex) है,वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ऊपरी योग की तुलना में निचले योग के अधिक निकट है,जो दर्शाता है कि $B - A इसलिए,$C < A < B$ और $B - A < A - C$ है।

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