मान लीजिए P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^ | vedclass

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Question

(B) हमारे पास $P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 = \frac{1 - x^6}{1 - x}$ है।ध्यान दें कि $P(x) = 0$ तब होता है जब $x = \omega^k$ जहाँ $\omega = e^

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$6$

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(B) हमारे पास $P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 = \frac{1 - x^6}{1 - x}$ है।ध्यान दें कि $P(x) = 0$ तब होता है जब $x = \omega^k$ जहाँ $\omega = e^{i \frac{2\pi}{6}}$ और $k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है।हम शेषफल $R(x)$ ज्ञात करना चाहते हैं जब $P(x^{12})$ को $P(x)$ से विभाजित किया जाता है।$P(x^{12}) = 1 + (x^{12}) + (x^{12})^2 + (x^{12})^3 + (x^{12})^4 + (x^{12})^5$.$P(x)$ के किसी भी मूल $\alpha$ के लिए,हमारे पास $\alpha^6 = 1$ है।अतः,$\alpha^{12} = (\alpha^6)^2 = 1^2 = 1$.$P(x^{12})$ में $x = \alpha$ रखने पर,हमें $P(\alpha^{12}) = 1 + 1 + 1^2 + 1^3 + 1^4 + 1^5 = 6$ प्राप्त होता है।चूँकि $P(x^{12}) = P(x)Q(x) + R(x)$,और $P(\alpha) = 0$,इसलिए $R(\alpha) = P(\alpha^{12}) = 6$ जो $P(x)$ के सभी $5$ मूलों के लिए सत्य है।चूँकि $R(x)$ अधिकतम $4$ घात वाला बहुपद है और यह $5$ अलग-अलग बिंदुओं पर $6$ मान लेता है,इसलिए $R(x)$ को अचर बहुपद $6$ होना चाहिए।

मान लीजिए $P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5$ है। जब $P(x^{12})$ को $P(x)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या होगा?

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मान लीजिए $\alpha = \sum_{r=0}^{n} (4r^2+2r+1) {}^{n}C_{r}$ और $\beta = \left(\sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{r+1}\right) + \frac{1}{n+1}$ है। यदि $140 < \frac{2\alpha}{\beta} < 281$ है,तो $n$ का मान ............... है।

माना $(1 + x + x^2)^{20}(2x + 1) = a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + ... + a_{41}x^{41}$,तो $\frac{a_0}{1} + \frac{a_1}{2} + .... + \frac{a_{41}}{42}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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