मान लीजिए $\alpha = \sum_{r=0}^{n} (4r^2+2r+1) {}^{n}C_{r}$ और $\beta = \left(\sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{r+1}\right) + \frac{1}{n+1}$ है। यदि $140 < \frac{2\alpha}{\beta} < 281$ है,तो $n$ का मान ............... है।

अऋण पूर्णांकों $s$ और $r$ के लिए,मान लीजिए $\binom{s}{r} = \begin{cases} \frac{s!}{r!(s-r)!} & \text{यदि } r \leq s \\ 0 & \text{यदि } r > s \end{cases}$. धनात्मक पूर्णांकों $m$ और $n$ के लिए,मान लीजिए $g(m, n) = \sum_{p=0}^{m+n} \frac{f(m, n, p)}{\binom{n+p}{p}}$,जहाँ किसी भी अऋण पूर्णांक $p$ के लिए,$f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$. तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $g(m, n) = g(n, m)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(B)$ $g(m, n+1) = g(m+1, n)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(C)$ $g(2m, 2n) = 2g(m, n)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(D)$ $g(2m, 2n) = (g(m, n))^2$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए

यदि $(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ है, तो $\sum_{k=0}^7 (-1)^k a_{2k}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है और $(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}=\sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ है,तो $a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n}$ का मान क्या होगा?

List-$I$ का List-$II$ के साथ सही मिलान है:

$(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+.......+x^{1000}$ में $x^{499}$ और $x^{500}$ के गुणांकों का योग क्या है?