(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+.. | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (1+x)^{1000}$, सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$, और $n = 1001$ पद हैं।योग सूत्र $S = a

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${}^{1002}C_{500}$

Vedclass · Answer

(B) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (1+x)^{1000}$, सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$, और $n = 1001$ पद हैं।योग सूत्र $S = a \frac{1-r^n}{1-r}$ का उपयोग करने पर:$S = (1+x)^{1000} \frac{1-(\frac{x}{1+x})^{1001}}{1-\frac{x}{1+x}}$$S = (1+x)^{1001} - x^{1001}$$x^{499}$ और $x^{500}$ के गुणांकों का योग:$(1+x)^{1001}$ में $x^{499}$ का गुणांक ${}^{1001}C_{499}$ है और $x^{500}$ का गुणांक ${}^{1001}C_{500}$ है।अतः, अभीष्ट योग ${}^{1001}C_{499} + {}^{1001}C_{500} = {}^{1002}C_{500}$ है।

$(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+.......+x^{1000}$ में $x^{499}$ और $x^{500}$ के गुणांकों का योग क्या है?

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गुणनफल $(1-x)(1-2x)(1-2^2x)(1-2^3x) \ldots (1-2^{15}x)$ में $x^{15}$ का गुणांक क्या है?

यदि $(ax^{2}+bx+c)(1-2x)^{26}$ के विस्तार में $x$ का गुणांक $-56$ है और $x^{2}$ तथा $x^{3}$ के गुणांक शून्य हैं, तो $a+b+c$ का मान ज्ञात कीजिए:

संख्या $(512)^3 - (253)^3 - (259)^3$ के भिन्न अभाज्य विभाजकों की संख्या है

यदि $(1+x)^{p}(1-x)^{q}$ के विस्तार में,जहाँ $p, q \leq 15$,$x$ और $x^{2}$ के गुणांक क्रमशः $-3$ और $-5$ हैं,तो $x^{3}$ का गुणांक $............$ के बराबर है।

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