यदि (1+x)^{p}(1-x)^{q} के विस्तार में,जहाँ p, | vedclass

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Question

(B) विस्तार $(1+x)^{p}(1-x)^{q} = (1 + px + \frac{p(p-1)}{2}x^2 + \frac{p(p-1)(p-2)}{6}x^3 + \dots)(1 - qx + \frac{q(q-1)}{2}x^2 - \frac{q(q-1)(q-2)}{

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$23$

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(B) विस्तार $(1+x)^{p}(1-x)^{q} = (1 + px + \frac{p(p-1)}{2}x^2 + \frac{p(p-1)(p-2)}{6}x^3 + \dots)(1 - qx + \frac{q(q-1)}{2}x^2 - \frac{q(q-1)(q-2)}{6}x^3 + \dots)$ है।$x$ का गुणांक $p - q = -3$ है $(1)$.$x^2$ का गुणांक $\frac{p(p-1)}{2} - pq + \frac{q(q-1)}{2} = -5$ है।$2$ से गुणा करने पर: $p^2 - p - 2pq + q^2 - q = -10$.$(p-q)^2 - (p+q) = -10$.चूँकि $p-q = -3$,हमारे पास $(-3)^2 - (p+q) = -10$ है,इसलिए $9 - (p+q) = -10$,जो $p+q = 19$ देता है $(2)$.$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर: $2p = 16 \implies p = 8$ और $q = 11$.$x^3$ का गुणांक $\frac{p(p-1)(p-2)}{6} - \frac{p(p-1)}{2}q + p\frac{q(q-1)}{2} - \frac{q(q-1)(q-2)}{6}$ द्वारा दिया जाता है।$p=8, q=11$ रखने पर:$= \frac{8 	imes 7 	imes 6}{6} - \frac{8 	imes 7}{2}(11) + 8 	imes \frac{11 	imes 10}{2} - \frac{11 	imes 10 	imes 9}{6}$.$= 56 - 308 + 440 - 165 = 23$.

यदि $(1+x)^{p}(1-x)^{q}$ के विस्तार में,जहाँ $p, q \leq 15$,$x$ और $x^{2}$ के गुणांक क्रमशः $-3$ और $-5$ हैं,तो $x^{3}$ का गुणांक $............$ के बराबर है।

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