यदि $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है और $(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}=\sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ है,तो $a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n}$ का मान क्या होगा?

माना $M = 2^{30} - 2^{15} + 1$ है। जब $M^2$ को आधार $2$ में व्यक्त किया जाता है,तो इसके बाइनरी निरूपण में $1$ की संख्या क्या होगी?

श्रेणी $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \frac{1}{2^r} + \frac{3^r}{2^{2r}} + \frac{7^r}{2^{3r}} + \frac{15^r}{2^{4r}} + \dots + m \text{ पद} \right)}$ का योग ज्ञात कीजिए।

यदि $(1+x+x^2)^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots$ है,तो $c_0 c_1 - c_1 c_2 + c_2 c_3 - \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $1 + (2 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49})({}^{50}C_{2} + {}^{50}C_{4} + \dots + {}^{50}C_{50})$ का मान $2^{n} \cdot m$ के बराबर है,जहाँ $m$ एक विषम संख्या है,तो $n + m$ का मान ज्ञात कीजिए।

List-$I$ का List-$II$ के साथ सही मिलान है: