यदि (1+x+x^2)^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + ldo | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $(1+x+x^2)^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots + c_{2n} x^{2n}$।$x$ को $-1/x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$(1 - 1/x

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(B) दिया गया है कि $(1+x+x^2)^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots + c_{2n} x^{2n}$।$x$ को $-1/x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$(1 - 1/x + 1/x^2)^n = c_0 - c_1/x + c_2/x^2 - \ldots + c_{2n} (-1/x)^{2n}$$(x^2 - x + 1)^n / x^{2n} = (c_0 x^{2n} - c_1 x^{2n-1} + c_2 x^{2n-2} - \ldots + c_{2n}) / x^{2n}$अतः,$(1 - x + x^2)^n = c_0 x^{2n} - c_1 x^{2n-1} + c_2 x^{2n-2} - \ldots + c_{2n}$।अब,गुणनफल $(1+x+x^2)^n (1-x+x^2)^n = (c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots) (c_0 x^{2n} - c_1 x^{2n-1} + c_2 x^{2n-2} - \ldots)$ पर विचार करें।पद $c_0 c_1 - c_1 c_2 + c_2 c_3 - \ldots$ इन दो श्रेणियों के गुणनफल में $x^{2n-1}$ का गुणांक है।$(1+x+x^2)^n (1-x+x^2)^n = ((1+x^2)+x)^n ((1+x^2)-x)^n = ((1+x^2)^2 - x^2)^n = (1 + 2x^2 + x^4 - x^2)^n = (1 + x^2 + x^4)^n$।$(1 + x^2 + x^4)^n$ के विस्तार में,केवल $x$ की सम घातें मौजूद होती हैं।चूंकि $2n-1$ एक विषम संख्या है,इसलिए $x^{2n-1}$ का गुणांक $0$ है।अतः,$c_0 c_1 - c_1 c_2 + c_2 c_3 - \ldots = 0$।

यदि $(1+x+x^2)^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots$ है,तो $c_0 c_1 - c_1 c_2 + c_2 c_3 - \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए कि $2-p, p, 2-\alpha, \alpha$ विस्तार $(1+x)^n$ में चार क्रमागत पदों के गुणांक हैं। तो $p^2-\alpha^2+6\alpha+2p$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+.......+x^{1000}$ में $x^{499}$ और $x^{500}$ के गुणांकों का योग क्या है?

$(1-x)^{30} (1 + x + x^2)^{29}$ के विस्तार में $x^{37}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए:

यदि $\left(1+\frac{1}{x}\right)^6\left(1+x^2\right)^7\left(1-x^3\right)^8 ; x \neq 0$ के विस्तार में $x^{30}$ का गुणांक $\alpha$ है,तो $|\alpha|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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