$(1-x)^{30} (1 + x + x^2)^{29}$ के विस्तार में $x^{37}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए:

$(1+2x)^n$ के द्विपद विस्तार में सभी गुणांकों का योग $6561$ है। मान लीजिए $R=(1+2x)^n=I+F$,जहाँ $I \in N$ और $0 < F < 1$ है। यदि $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ है,तो $1-\frac{F}{1+(\sqrt{2}-1)^4}=$

$1$ से $10$ तक क्रमांकित दस ट्रक चीनी के पैकेट ले जा रहे हैं। प्रत्येक पैकेट का वजन या तो $999 \ g$ है या $1000 \ g$ और प्रत्येक ट्रक केवल समान वजन के पैकेट ले जाता है। पहले ट्रक से $1$ पैकेट,दूसरे से $2$ पैकेट,तीसरे से $4$ पैकेट,और इसी तरह दसवें ट्रक से $2^9$ पैकेट का कुल वजन $1022870 \ g$ है। किन ट्रकों में हल्के बैग हैं?

List-$I$ का List-$II$ के साथ सही मिलान है:

द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(1+2a)^{4}(2-a)^{5}$ के गुणनफल में $a^{4}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $C_{r}$,$(1+x)^{10}$ के विस्तार में $x^{r}$ का द्विपद गुणांक है। यदि $\alpha, \beta \in R$ है और $C_{1}+3 \cdot 2 C_{2}+5 \cdot 3 C_{3}+\ldots$ ($10$ पदों तक) $= \frac{\alpha \times 2^{11}}{2^{\beta}-1} \left( C_{0}+\frac{C_{1}}{2}+\frac{C_{2}}{3}+\ldots \right.$ ($10$ पदों तक) $)$,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।