मान लीजिए C_{r},(1+x)^{10} के विस्तार में x^{ | vedclass

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Question

(D) $LHS$ श्रेणी का सामान्य पद $(2r-1)r C_{r}$ है।योग $= \sum_{r=1}^{10} (2r^2-r) C_{r} = 2 \sum_{r=1}^{10} r^2 C_{r} - \sum_{r=1}^{10} r C_{r}$.$n=10

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$15$

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(D) $LHS$ श्रेणी का सामान्य पद $(2r-1)r C_{r}$ है।योग $= \sum_{r=1}^{10} (2r^2-r) C_{r} = 2 \sum_{r=1}^{10} r^2 C_{r} - \sum_{r=1}^{10} r C_{r}$.$n=10$ के लिए $r C_{r} = n C_{r-1}$ और $r^2 C_{r} = n(n-1) C_{r-2} + n C_{r-1}$ का उपयोग करने पर:$LHS$ $= 2 \sum_{r=1}^{10} (10 \cdot 9 C_{r-2} + 10 C_{r-1}) - \sum_{r=1}^{10} 10 C_{r-1}$.$= 180 \sum_{r=2}^{10} C_{r-2} + 20 \sum_{r=1}^{10} C_{r-1} - 10 \sum_{r=1}^{10} C_{r-1}$.$= 180(2^8) + 10(2^9) = 51200$.$RHS$ श्रेणी $\sum_{r=0}^{9} \frac{C_{r}}{r+1} = \frac{1}{11} (2^{10}-1)$ है।तुलना करने पर,$\alpha=25$ और $\beta=11$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha+\beta = 36$ (नोट: विकल्प संशोधित किए गए हैं)।

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