श्रेणी sumlimits_{r = 0}^n {(-1)^r , ^nC_r le | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \sum\limits_{k = 1}^m \frac{(2^k - 1)^r}{2^{kr}} \right)}$ है।योग के क्रम को बदलने पर,

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$\frac{2^{mn} - 1}{2^{mn}(2^n - 1)}$

Vedclass · Answer

(A) दी गई श्रेणी $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \sum\limits_{k = 1}^m \frac{(2^k - 1)^r}{2^{kr}} \right)}$ है।योग के क्रम को बदलने पर,हमें प्राप्त होता है:$\sum\limits_{k = 1}^m \sum\limits_{r = 0}^n {^nC_r (-1)^r \left( \frac{2^k - 1}{2^k} \right)^r}$.द्विपद प्रमेय $\sum\limits_{r=0}^n {^nC_r x^r = (1+x)^n}$ का उपयोग करने पर:$= \sum\limits_{k = 1}^m \left( 1 - \frac{2^k - 1}{2^k} \right)^n$.$= \sum\limits_{k = 1}^m \left( \frac{2^k - 2^k + 1}{2^k} \right)^n = \sum\limits_{k = 1}^m \left( \frac{1}{2^k} \right)^n = \sum\limits_{k = 1}^m \frac{1}{2^{nk}}$.यह $m$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{2^n}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2^n}$ है।योग $S_m = a \frac{1 - r^m}{1 - r} = \frac{1}{2^n} \frac{1 - (1/2^n)^m}{1 - 1/2^n} = \frac{2^{nm} - 1}{2^{nm}(2^n - 1)}$ है।

श्रेणी $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \frac{1}{2^r} + \frac{3^r}{2^{2r}} + \frac{7^r}{2^{3r}} + \frac{15^r}{2^{4r}} + \dots + m \text{ पद} \right)}$ का योग ज्ञात कीजिए।

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