ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}-\lambda \hat{k}$,$\vec{a} \cdot \vec{c}=7$,$2 \vec{b} \cdot \vec{c}+43=0$,અને $\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b} \times \vec{c}$ છે. તો $|\vec{a} \cdot \vec{b}|$ ની કિંમત શોધો.

$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = $

ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ છે અને બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $-\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$ છે. જો બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $-2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$,$2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$ અને $-4\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$ હોય,તો સદિશ $\overline{AB}$ અને $\overline{AC}$ ને લંબ સદિશ પર સદિશ $\overline{OP}$ નો પ્રક્ષેપ $......$ છે.

જો $u = a - b$ અને $v = a + b$ અને $|a| = |b| = 2$ હોય,તો $|u \times v|$ ની કિંમત શોધો.

જો $a=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$b=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$c=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$,$n$ એ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ હોય અને $\theta$ એ $c$ અને $n$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\sin \theta=$

ત્રિકોણ $ABC$ માટે, ધારો કે $\vec{p}=\vec{BC}$, $\vec{q}=\vec{CA}$ અને $\vec{r}=\vec{BA}$. જો $|\vec{p}|=2\sqrt{3}$, $|\vec{q}|=2$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોય, જ્યાં $\theta$ એ $\vec{p}$ અને $\vec{q}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે, તો $|\vec{p} \times (\vec{q}-3\vec{r})|^{2}+3|\vec{r}|^{2}$ ની કિંમત શોધો: