मान लीजिए R,mathbb{R} पर एक संबंध है,जो R = { | vedclass

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Question

(A) स्वतुल्यता के लिए जाँच:किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,$3a - 3a + \sqrt{7} = \sqrt{7}$। चूँकि $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $(a, a) \in

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स्वतुल्य है लेकिन न तो सममित है और न ही संक्रामक

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(A) स्वतुल्यता के लिए जाँच:किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,$3a - 3a + \sqrt{7} = \sqrt{7}$। चूँकि $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $(a, a) \in R$। अतः,$R$ स्वतुल्य है।सममितता के लिए जाँच:मान लीजिए $(a, b) \in R$। तो $3a - 3b + \sqrt{7} = I_1$,जहाँ $I_1$ एक अपरिमेय संख्या है।सममितता के लिए,हमें $(b, a) \in R$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है कि $3b - 3a + \sqrt{7}$ अपरिमेय होना चाहिए।ध्यान दें कि $3b - 3a + \sqrt{7} = -(3a - 3b - \sqrt{7}) = -(I_1 - 2\sqrt{7}) = 2\sqrt{7} - I_1$।यदि हम $a = \frac{\sqrt{7}}{3}$ और $b = 0$ लेते हैं,तो $3(\frac{\sqrt{7}}{3}) - 3(0) + \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$ (अपरिमेय),इसलिए $(a, b) \in R$।हालाँकि,$(b, a)$ के लिए,हमारे पास $3(0) - 3(\frac{\sqrt{7}}{3}) + \sqrt{7} = 0$ है,जो परिमेय है। इसलिए,$(b, a) 
otin R$। $R$ सममित नहीं है।संक्रामकता के लिए जाँच:मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$। तो $3a - 3b + \sqrt{7} = I_1$ और $3b - 3c + \sqrt{7} = I_2$,जहाँ $I_1, I_2$ अपरिमेय हैं।संक्रामकता के लिए,$(a, c) \in R$ का अर्थ है कि $3a - 3c + \sqrt{7}$ अपरिमेय होना चाहिए।दोनों संबंधों को जोड़ने पर: $(3a - 3b + \sqrt{7}) + (3b - 3c + \sqrt{7}) = 3a - 3c + 2\sqrt{7} = I_1 + I_2$।अतः,$3a - 3c + \sqrt{7} = I_1 + I_2 - \sqrt{7}$।यदि हम $a = \frac{\sqrt{7}}{3}, b = 1, c = \frac{2\sqrt{7}}{3}$ लेते हैं,तो $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$,लेकिन $3a - 3c + \sqrt{7} = 3(\frac{\sqrt{7}}{3}) - 3(\frac{2\sqrt{7}}{3}) + \sqrt{7} = \sqrt{7} - 2\sqrt{7} + \sqrt{7} = 0$,जो परिमेय है। इसलिए,$(a, c) 
otin R$। $R$ संक्रामक नहीं है।

मान लीजिए $R$,$\mathbb{R}$ पर एक संबंध है,जो $R = \{(a, b) : 3a - 3b + \sqrt{7} \text{ एक अपरिमेय संख्या है} \}$ द्वारा दिया गया है। तो $R$ है

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