ધારો કે I(x) = int frac{(x+1)}{x(1+x e^x)^2} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે $I(x) = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} dx$. અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા: $I(x) = \int \frac{(x+1)e^x}{x e^x(1+x e^x)^2} dx$. ધારો કે $u =

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{e+2}{e+1} - \log_e(e+1)$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે $I(x) = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} dx$. અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા: $I(x) = \int \frac{(x+1)e^x}{x e^x(1+x e^x)^2} dx$. ધારો કે $u = x e^x$,તો $du = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$. આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $I(x) = \int \frac{du}{u(1+u)^2}$. આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{1}{u(1+u)^2} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1+u} + \frac{C}{(1+u)^2}$. $1 = A(1+u)^2 + Bu(1+u) + Cu$. $u=0$ માટે,$A=1$. $u=-1$ માટે,$C=-1$. $u^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $A+B=0 \implies B=-1$. તેથી,$I(x) = \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{1+u} - \frac{1}{(1+u)^2}) du = \log|u| - \log|1+u| + \frac{1}{1+u} + C$. $I(x) = \log|\frac{u}{1+u}| + \frac{1}{1+u} + C = \log|\frac{x e^x}{1+x e^x}| + \frac{1}{1+x e^x} + C$. જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે $\frac{x e^x}{1+x e^x} \rightarrow 1$,તેથી $\log(1) = 0$ અને $\frac{1}{1+x e^x} \rightarrow 0$. આમ,$\lim_{x \rightarrow \infty} I(x) = 0 + 0 + C = 0 \implies C = 0$. $I(1) = \log(\frac{e}{1+e}) + \frac{1}{1+e} = \log(e) - \log(1+e) + \frac{1}{1+e} = 1 - \log(1+e) + \frac{1}{1+e} = \frac{1+e+1}{1+e} - \log(1+e) = \frac{e+2}{e+1} - \log_e(e+1)$.

ધારો કે $I(x) = \int \frac{(x+1)}{x(1+x e^x)^2} dx, x > 0$. જો $\lim_{x \rightarrow \infty} I(x) = 0$ હોય,તો $I(1)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

સંમેય વિધેયનું સંકલન કરો: $\frac{3x-1}{(x+2)^{2}}$

$\int \frac{x^{2}+1}{(x-3)(x-2)} d x = P x + Q \log |x-3| + R \log |x-2| + c$,જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે,તો $P, Q, R$ ની કિંમતો અનુક્રમે શું થશે?

સંમેય વિધેયનું સંકલન કરો: $\frac{x}{(x^{2}+1)(x-1)}$

સંમેય વિધેયનું સંકલન કરો: $\frac{2}{(1-x)(1+x^{2})}$

$\int \frac{\sin 2x}{\sin^2 x + 3\cos x - 3} \, dx$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module