ધારો કે $P_1$ એ સમતલ $3x - y - 7z = 11$ છે અને $P_2$ એ બિંદુઓ $(2, -1, 0)$,$(2, 0, -1)$,અને $(5, 1, 1)$ માંથી પસાર થતું સમતલ છે. જો બિંદુ $(7, 4, -1)$ માંથી સમતલ $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $(\alpha, \beta, \gamma)$ હોય,તો $\alpha + \beta + \gamma$ ની કિંમત $............$ થાય.

બિંદુ $(1, -5, 9)$ નું સમતલ $x - y + z = 5$ થી રેખા $x = y = z$ ની દિશામાં માપેલું અંતર . . . . . . એકમ છે.

$\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\overrightarrow{CD} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ એ બે સદિશો છે. બિંદુઓ $A$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $6\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $-9\hat{j} + 2\hat{k}$ છે. રેખા $AB$ પરના બિંદુ $P$ અને રેખા $CD$ પરના બિંદુ $Q$ ના સ્થાન સદિશો શોધો જેથી $\overrightarrow{PQ}$ એ $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ બંનેને લંબ હોય.

જો બિંદુઓ $(1, 1, \lambda)$ અને $(-3, 0, 1)$ એ સમતલ $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ થી સમાન અંતરે હોય, તો $\lambda$ ની કિંમતો શોધો.

જો $\lambda_1 < \lambda_2$ એ $\lambda$ ની બે એવી કિંમતો હોય કે જેથી સમતલો $P_1: \vec{r} \cdot (3 \hat{i} - 5 \hat{j} + \hat{k}) = 7$ અને $P_2: \vec{r} \cdot (\lambda \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) = 9$ વચ્ચેનો ખૂણો $\sin^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}\right)$ હોય,તો બિંદુ $(38 \lambda_1, 10 \lambda_2, 2)$ થી સમતલ $P_1$ પરના લંબની લંબાઈનો વર્ગ $...........$ છે.

રેખાઓ $\frac{x-0}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{\lambda}$ અને $\frac{x-2}{2}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-3}{\lambda}$ સમતલીય છે. જો $p$ એ આ રેખાઓ ધરાવતું સમતલ હોય,તો $\lambda$ ની તમામ કિંમતો માટે નીચેનામાંથી કયું બિંદુ સમતલ પર આવેલું છે?